Bài 6: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình trụ

I. Lý thuyết
Cho hình trụ sở hữu độ cao h, nửa đường kính lòng là R.
\(S_{xq}=2\pi .R.h\)
\(S_{tp}=2\pi .R.h+2\pi R^2\)

II. Bài tập
Ví dụ 1: Tính diện tích S xung xung quanh, diện tích S toàn phần của hình trụ, sở hữu độh lâu năm đàng tròn trặn lòng là 8 centimet, khoảng cách thân thiết 2 lòng là 5 centimet.

Bạn đang xem: Bài 6: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình trụ

Giải
\(2R=8cm\Rightarrow R=4cm\)
Chiều cao h vị khoảng cách thân thiết nhị lòng vị 5 cm
\(S_{xq}=2\pi .R.h=2\pi .4.5=40\pi (cm^2)\)
\(S_{tp}=2\pi .R.h+2\pi R^2=40\pi+2 \pi.4^2=72\pi (cm^2)\)
Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD, sở hữu AB=3cm, AD = 4cm. Tính S_xq, S_tp của hình trụ tạo nên trở thành Khi mang đến đàng cấp khúc.
a) ABCD xoay quanh AB
b) BADC xoay quanh BC.
Giải

a) 
Khi mang đến đàng cấp khúc ADCB xoay quanh AB tao được hình trụ sở hữu độ cao h₁ = AB = 3 (cm)
Bán kính hình trụ lòng là R₁ = 4 cm
\(S_{xq}=2\pi .R_1.h_1=2\pi .4.3=24\pi (cm^2)\)

\(S_{tp}=2\pi .R_1.h_1+2\pi R_1^2=24\pi+32 \pi=56\pi (cm^2)\)
b)
Khi mang đến đàng cấp khúc BADC xoay quanh BC tao được hình trụ sở hữu chiều cao \(h_2=BC=AD=4(cm)\)
bán kính hình trụ đáy \(R_2=AB=3(cm)\)

\(S_{xq}=2\pi .R_2.h_2=2\pi .3.4=24\pi (cm^2)\)

Xem thêm: Mercury (element)

\(S_{tp}=2\pi .R_2.h_2+2\pi R_2^2=24\pi+18 \pi=42\pi (cm^2)\)
Nhận xét: Cho hình chữ nhật ABCD sở hữu AB = k.AD.
Gọi S₁, S₂ l³ diện tích S xung xung quanh của hình trụ tạo nên trở thành Khi mang đến đàng cấp khúc ADCB xoay quanh AB, BADC xoay quanh BC. Tính \(\frac{S_1}{S_2}\)

Xem thêm: Công dụng thuốc Terpin benzoat

Giải
\(\frac{S_1}{S_2}=\frac{2\pi AD.AB+2\pi AD^2}{2\pi AB.AD+2\pi AB^2}\)
\(=\frac{2\pi .k.AD^2+2\pi AD^2}{2\pi .k.AD+2\pi.k.AD^2}=\frac{k+1}{k+k^2}=\frac{1}{k}\)

Ví dụ 3: Cho vỏ hộp hình trụ rất có thể tích là V. Tìm nửa đường kính nhằm vật liệu dùng để làm vỏ vỏ hộp là tối thiểu.
Giải
Gọi nửa đường kính hình trụ là R, độ cao h, tao có:
\(V=\pi .R^2.h\Rightarrow h=\frac{V}{\pi.R^2 }\)
\(S_{tp}=2\pi .R.h+2\pi R^2=2\pi R.\frac{V}{\pi R^2}+2\pi R^2\)
\(=\frac{2V}{R}+2\pi R^2=f(R)\)
\(f'(R)=-\frac{2V}{R^2}+4\pi R\)
\(f'(R)=0\Leftrightarrow 4\pi R^3=2V\)
\(\Leftrightarrow R^3=\frac{V}{2\pi }\Leftrightarrow R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}\)

\(f(R)_{min}=f\left (\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }} \right )\)
\(S_{tp_{min}}\Leftrightarrow R=\left (\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }} \right )\)
Cách 2:
\(S_{tp}=\frac{V}{R}+\frac{V}{R}+2\pi R^2\geq 3.\sqrt[3]{\frac{V}{R}.\frac{V}{R}.2\pi R^2} =3.\sqrt[3]{2\pi .R^2}\)
\(S_{tp_{min}}=3.\sqrt[3]{2\pi .R^2}\Leftrightarrow \frac{V}{R}=2\pi .R^2 \Leftrightarrow R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}\)