2 cách giải phương trình bậc bốn và bài tập ví dụ

Vâng, sau thời điểm tìm kiếm ra cơ hội giải phương trình bậc phụ vương thì những ngôi nhà Toán học tập tiếp tục nối tiếp nghiên cứu và phân tích và dò la rời khỏi cơ hội giải phương trình bậc tư.

Cụ thể là nhập thân thích thế kỉ loại XVI thì ngôi nhà Toán học tập tài phụ vương người Italia (Luđovicô Ferari) tiếp tục dò la rời khỏi cơ hội giải tổng quát lác mang đến phương trình bậc tư.

Bạn đang xem: 2 cách giải phương trình bậc bốn và bài tập ví dụ

Hôm ni tất cả chúng ta tiếp tục bên cạnh nhau ôn lại cơ hội giải một trong những lớp phương trình bậc tư thông thường gặp gỡ và dò la hiểu tăng cơ hội giải phương trình bậc 4 sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X, tương tự khí cụ trực tuyến Wolfram Alpha.

I. Phương trình bậc tư là gì?

Phương trình bậc tư đem dạng $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ với $a, b, c, d, e$ là những số thực bất kì, $a$ không giống $0$

Ví dụ. $x^4-18x^3+123x^2-378x+440=0$, $x^4-14x^3+71x^2-154x+117=0$, $-3x^4-2x^3+5x^2-2x-3=0$ là những phương trình bậc tư.

II. Một số kỹ năng và kiến thức cần thiết ghi nhớ

• Nếu $a+b+c+d+e=0$ thì phương trình đem nghiệm là $1$
• Nếu $a-b+c-d+e=0$ thì phương trình đem nghiệm là $-1$
• Nếu phương trình đem nghiệm vẹn toàn thì chỉ hoàn toàn có thể là 1 trong trong số ước của $e$
• Nếu phương trình đem nghiệm hữu tỉ $\frac{p}{q}$ thì $p, q$ theo lần lượt theo gót trật tự là những ước của $e$ và $a$
• Phương trình bậc tư đem tối nhiều tư nghiệm

III.  Một số dạng đặc biệt quan trọng thông thường gặp

#1. Phương trình trùng phương

Phương trình bậc tư đem dạng $ax^4+bx^2+c=0$ được gọi là phương trình trùng phương.

#2. Phương trình bậc tư dạng $(x+a)^4+(x+b)^4=c$

Phương trình $(x+a)^4+(x+b)^4=c$ hoàn toàn có thể gửi về phương trình trùng phương bằng phương pháp bịa đặt ẩn phụ $y=x+\frac{a+b}{2}$

#3. Phương trình bậc tư dạng $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m$ với $a+b=c+d$

Phương trình $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m$ với $a+b=c+d$ tương tự với $[x^2+(a+b)x+ab][x^2+(c+d)x+cd]=m$

Đặt $t=x^2+(a+b)x+ab$ tất cả chúng ta tiếp tục gửi được phương trình tiếp tục mang đến trở thành phương trình bậc nhị với ẩn $t$

#4. Phương trình đối xứng bậc bốn

Phương trình đối xứng bậc tư là phương trình đem dạng $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$

Bước 1. Kiểm tra $x=0$ đem là nghiệm của phương trình hoặc không?

Bước 2. Nếu $x=0$ ko là nghiệm của phương trình thì phân tách nhị vế của phương trình mang đến $x^2$

$ax^{2}+b x+c+\frac{b}{x}+\frac{a}{x^{2}}=0 \Leftrightarrow a\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+b\left(x+\frac{1}{x}\right)+c=0$

Đặt $t=x+\frac{1}{x} \Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$, ĐK $|t| \geq 2$

Lúc này phương trình $a\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+b\left(x+\frac{1}{x}\right)+c=0$ trở nên $a(t^{2}-2)+bt+c=0$

IV. Bài tập dượt ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình $(x-5)^4+(x-4)^4=1$

Cách 1. Đặt $y=x+\frac{(-5)+(-4)}{2}$

Đặt $y=x-\frac{9}{2}$ suy rời khỏi $x=y+\frac{9}{2}$

Phương trình trở nên $\left(y+\frac{9}{2}-5\right)^4+\left(y+\frac{9}{2}-4\right)^4-1=0$ $(*)$

$(*) \Leftrightarrow \left(y-\frac{1}{2}\right)^4+\left(y+\frac{1}{2}\right)^4-1=0 \Leftrightarrow 2y^4+3y^2-\frac{7}{8}=0$ $(**)$

Đặt $t=y^2$, ĐK $t \geq 0$

Phương trình $(**)$ trở nên $2t^2+3t-\frac{7}{8}=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t=\frac{1}{4}\\ t=-\frac{7}{4}\end{array}\right. \Leftrightarrow t=\frac{1}{4}$

Với $t=\frac{1}{4}$ tao được phương trình $\frac{1}{4}=y^2 \Leftrightarrow y^2-\frac{1}{4}=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y=\frac{1}{2}\\ y=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

• Với $y=\frac{1}{2}$ tao được phương trình $x=\frac{1}{2}+\frac{9}{2}=5$
• Với $y=-\frac{1}{2}$ tao được phương trình $x=-\frac{1}{2}+\frac{9}{2}=4$

Vậy tập dượt nghiệm của phương trình tiếp tục cho rằng $\{5, 4\}$

Cách 2. Tìm nghiệm nguyên

$(x-5)^4+(x-4)^4=1$ $(*)$

$(*) \Leftrightarrow 2x^4-36x^3+246x^2-756x+880=0 \Leftrightarrow x^4-18x^3+123x^2-378x+440=0$

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 8, \pm 10, \pm 11, \pm trăng tròn, \pm 22, \pm 40, \pm 44, \pm 55, \pm 88, \pm 110, \pm 220, \pm 440$ là những ước của $440$

Lần lượt thay cho những ước bên trên nhập vế trái khoáy của phương trình, ước nào là thực hiện mang đến vế trái khoáy vì chưng $0$ thì cơ đó là nghiệm

$(1-5)^4+(1-4)^4 \neq 1$

$(2-5)^4+(2-4)^4 \neq 1$

$(4-5)^4+(4-4)^4=1$

$(5-5)^4+(5-4)^4=1$

Vì $4, 5$ là nghiệm của phương trình nên $(*) \Leftrightarrow (x-4)(x-5)(x^2-9x+22)=0$

Dễ thấy $(x^2-9x+22)=\left(x-\frac{9}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0$

Vậy tập dượt nghiệm của phương trình tiếp tục cho rằng $\{5, 4\}$

Ví dụ 2. Giải phương trình $(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)=3$

Xem thêm: Cách điều trị dứt điểm nấm móng tay, móng chân đơn giản và hiệu quả

Lời giải:

Phương trình $(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)=3 \Leftrightarrow (x-5)(x-2)(x-4)(x-3)=3$ $(*)$

Phương trình $(*)$ đem $(-5)+(-2)=(-4)+(-3)$

$(*) \Leftrightarrow (x^2-7x+10)(x^2-7x+12)=3$ $(**)$

Đặt $t=x^2-7x+10$ phương trình $(**)$ trở nên $(t)(t+2)=3 \Leftrightarrow t^2+2t-3=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t=1 \\ t=-3\end{array}\right.$

Với $t=1$ tao được phương trình $1=x^2-7x+10 \Leftrightarrow x^2-7x+9=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=\frac{7+\sqrt{13}}{2} \\ x=\frac{7-\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.$

Với $t=-3$ tao được phương trình $-3=x^2-7x+10 \Leftrightarrow x^2-7x+13=0$

Vì $x^2-7x+13=(x-\frac{7}{2})^2+\frac{3}{4}>0$ nên phương trình vô nghiệm

Vậy tập dượt nghiệm của phương trình tiếp tục cho rằng $\left\{\frac{7+\sqrt{13}}{2}, \frac{7-\sqrt{13}}{2}\right\}$

Ví dụ 3. Giải phương trình $-3x^4-2x^3+5x^2-2x-3=0$

Lời giải:

Dễ thấy $x=0$ ko là nghiệm của phương trình.

Chia nhị về của phương trình mang đến $x^2$ tao được $-3x^2-\frac{3}{x^2}-2x-\frac{2}{x}+5=0 \Leftrightarrow -3\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-2\left(x+\frac{1}{x}\right)+5=0~(*)$

Đặt $t=x+\frac{1}{x} \Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2$, ĐK $|t| \geq 2$

Lúc bấy giờ phương trình $(*)$ trở nên $-3(t^2-2)-2(t)+5=0 \Leftrightarrow -3t^2-2t+11=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=\frac{-1+\sqrt{34}}{3} \\ t=\frac{-1-\sqrt{34}}{3}\end{array}\right.$

$t=\frac{-1+\sqrt{34}}{3}$ bị nockout vì thế ko vừa lòng ĐK $|t| \geq 2$

Với $\frac{-1-\sqrt{34}}{3}$ tao được phương trình $\frac{-1-\sqrt{34}}{3}=x+\frac{1}{x}$ $(**)$

$(**) \Leftrightarrow x+ \frac{1}{x}-\left(\frac{-1-\sqrt{34}}{3}\right)=0 \Leftrightarrow x^2+1-\left(\frac{-1-\sqrt{34}}{3}\right)x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\frac{1}{6}\left(-1-\sqrt{34}-\sqrt{2\sqrt{34}-1}\right) \\ x=\frac{1}{6}\left(-1-\sqrt{34}+\sqrt{2\sqrt{34}-1}\right)\end{array}\right.$

V. Giải sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X

Ở phía trên bản thân tiếp tục giải phương trình $x^4-18x^3+123x^2-378x+440=0$ bên trên PC CASIO fx-580VN X

Bước 1. Lần lượt nhấn những phím

nhằm lựa chọn phương trình bậc 4.

Bước 2. Lần lượt nhấn những phím

 để nhập những thông số $1, -18,  123, -378, 440$

Bước 3. Nhấn phím

 để coi kết quả

Chú ý:
Nghiệm $x_3$ và $x_4$ là nghiệm phức, nếu khách hàng là học viên lớp 11 trở xuống thì vẫn tóm lại tập dượt nghiệm của phương trình tiếp tục cho rằng $\{5, 4\}$

VI. Giải vì chưng khí cụ trực tuyến Wolfram Alpha

Ở phía trên bản thân tiếp tục giải phương trình $x^4-14x^3+71x^2-154x+117=0$ bên trên PC trải qua trình duyệt Google Chrome.

Bước 1. Truy cập nhập trang chủ của công ty trực tuyến Wolfram Alpha theo gót địa điểm https://www.wolframalpha.com/

Bước 2. Nhập mệnh lệnh solve x^4-14x^3+71x^2-154x+117=0

Bước 3. Nhấn phím Enter bên trên keyboard nhằm coi kết quả:

Vậy tập dượt nghiệm của phương trình tiếp tục cho rằng $\left\{\frac{7+\sqrt{13}}{2}, \frac{7-\sqrt{13}}{2}\right\}$

VII. Lời kết

Trong thực hành thực tế, Khi được yêu thương cầu giải phương trình bậc bốn ngẫu nhiên thì bản thân tiếp tục tiến hành theo lần lượt công việc bên dưới … (nếu ở Bước $n$ tiếp tục giải được phương trình thì ko cần thiết tiến hành Bước $n+1$ nữa nha những bạn).

• Bước 1. Quan sát coi phương trình đem rớt vào những dạng đặc biệt quan trọng hay là không, nếu như vận dụng cách thức ứng nhằm giải.
• Bước 2. Kiểm tra coi phương trình đem nghiệm vẹn toàn hoặc vẹn toàn hữu tỉ hay là không, nếu như đem thì tổ chức phân tách sơ trang bị Hoocne nhằm dò la phương trình bậc phụ vương, bậc nhị.
• Bước 3. Tập luyện phân tách phương trình tiếp tục mang đến trở thành phương trình tích
• Bước 4. kề dụng thuật giải tổng quát lác của Italia Luđovicô Ferari

Hi vọng là nội dung bài viết này tiếp tục hữu ích với các bạn. Xin Chào thân ái và hứa hẹn hội ngộ chúng ta trong mỗi nội dung bài viết tiếp theo sau !

Xem thêm: Tháng 7 có những cung nào? Bí mật đằng sau những người sinh vào tháng 7 | Mytour

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com
Edit by Kiên Nguyễn