Giải phương trình bậc ba bằng phương pháp lượng giác hoá | Học toán online chất lượng cao 2024

Giải phương trình bậc tía vị cách thức lượng giác hoá

Mọi phương trình bậc tía luôn luôn fake được về dạng: ${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=0.$

Đặt $x=y-\dfrac{a}{3}\Rightarrow {{y}^{3}}+\left( b-\dfrac{{{a}^{2}}}{3} \right)y+c+\dfrac{2{{a}^{3}}-9ab}{27}=0.$

Bạn đang xem: Giải phương trình bậc ba bằng phương pháp lượng giác hoá | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Đặt $p=b-\dfrac{{{a}^{2}}}{3},q=c+\dfrac{2{{a}^{3}}-9ab}{27}\Rightarrow {{y}^{3}}+py+q=0.$

Như vậy, từng phương trình bậc tía luôn luôn fake được về dạng: ${{x}^{3}}+px+q=0\text{ }\left( * \right).$

Với ĐK buộc ràng thân thích $p$ và $q$ tớ hoàn toàn có thể giải phương trình (*) bằng phương pháp lượng giác hoá, trải qua công thức góc nhân tía $\cos 3\alpha =4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha $ như sau:

Xét phương trình bậc tía dạng: ${{x}^{3}}+px+q=0,\left( p<0,4{{p}^{3}}+27{{q}^{2}}\le 0 \right)$

Xét nghiệm $x\in \left[ -a;a \right]$ với $a>0$ được lựa chọn sau, thời điểm hiện tại tớ bịa đặt $x=a.\cos \alpha ,\text{ }\left( \alpha \in \left[ 0;\pi \right] \right)$ phương trình trở thành:

${{a}^{3}}.{{\cos }^{3}}\alpha +ap.\cos \alpha +q=0\Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}\alpha +\dfrac{4p}{{{a}^{2}}}\cos \alpha =-\dfrac{4q}{{{a}^{3}}}\text{ }\left( 1 \right).$

Chọn $a>0$ sao cho tới $\dfrac{4p}{{{a}^{2}}}=-3\Leftrightarrow {{a}^{2}}=-\dfrac{4}{3}p\Leftrightarrow a=2\sqrt{\dfrac{-p}{3}}$

$\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha =-\dfrac{q}{2{{\left( \sqrt{\dfrac{-p}{3}} \right)}^{3}}}\text{ }\left( 2 \right).$

Vì $4{{p}^{3}}+27{{q}^{2}}\le 0\Rightarrow \left| -\dfrac{q}{2{{\left( \sqrt{\dfrac{-p}{3}} \right)}^{3}}} \right|\le 1\Rightarrow \exists \beta \in \left[ 0;\pi \right]$ sao cho tới $\cos \beta =-\dfrac{q}{2{{\left( \sqrt{\dfrac{-p}{3}} \right)}^{3}}}$

$\Rightarrow \left( 2 \right)\Leftrightarrow \cos 3\alpha =\cos \beta \Leftrightarrow 3\alpha =\pm \beta +k2\pi \Rightarrow \alpha \in \left\{ \dfrac{-\beta +2\pi }{3},\dfrac{\beta }{3},\dfrac{\beta +2\pi }{3} \right\}.$

Vì phương trình bậc tía sở hữu tối nhiều tía nghiệm nên những nghiệm của phương trình là $x=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{-\beta +2\pi }{3} \right),x=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{\beta }{3} \right),x=2\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\cos \left( \dfrac{\beta +2\pi }{3} \right).$

Ví dụ 1: Giải phương trình ${{x}^{3}}-3x-1=0.$

Xét nghiệm $x\in \left[ -2;2 \right],$ bịa đặt $x=2\cos \alpha ,\text{ }\left( \alpha \in \left[ 0;\pi \right] \right)$ phương trình trở thành:

$8{{\cos }^{3}}\alpha -6\cos \alpha -1=0\Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha =\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \cos 3\alpha =\dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 3\alpha =\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow \alpha \in \left\{ \dfrac{\pi }{9},\dfrac{5\pi }{9},\dfrac{7\pi }{9} \right\}.$

Vì phương trình bậc tía sở hữu tối nhiều 3 nghiệm nên những nghiệm của phương trình là $x=2\cos \dfrac{\pi }{9},x=2\cos \dfrac{5\pi }{9},x=2\cos \dfrac{7\pi }{9}.$

Ví dụ 2: Giải phương trình \[{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+9x+3=0.\]

Đặt \[x=y-2\Rightarrow {{y}^{3}}-3y+1=0.\]

Xét nghiệm $y\in \left[ -2;2 \right]$ tớ bịa đặt \[y=2\cos \alpha ,\alpha \in \left[ 0;\pi \right]\Rightarrow 8{{\cos }^{3}}\alpha -6\cos \alpha +1=0\]

\[\Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha =-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \cos 3\alpha =-\dfrac{1}{2}\]

\[\Leftrightarrow 3\alpha =\pm \dfrac{2\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow \alpha \in \left\{ \dfrac{2\pi }{9},\dfrac{4\pi }{9},\dfrac{8\pi }{9} \right\}.\]

Vì phương trình bậc tía sở hữu tối nhiều 3 nghiệm nên những nghiệm của phương trình là

\[x=2\cos \dfrac{2\pi }{9}-2,x=2\cos \dfrac{4\pi }{9}-2,x=2\cos \dfrac{8\pi }{9}-2.\]

Khoá học tập Toán 10 theo đòi lịch trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, luyện 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, luyện 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1, luyện 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Khoá học tập Toán 11 theo đòi lịch trình SGK mới

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, luyện 2) (Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống) - NXB GD Việt Nam

Xem thêm: Câu chuyện và ý nghĩa tượng Phật 4 Mặt tại Thái Lan

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, luyện 2) (Chân Trời Sáng Tạo) - NXB GD Việt Nam

Sách giáo khoa Toán 11 (tập 1, luyện 2) (Cánh Diều) - NXB ĐH Sư Phạm

Combo X Luyện đua 2024 Môn Toán (THPT, ĐG năng lượng, ĐG tư duy) (2K6)

Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5

PRO X: Luyện đua trung học phổ thông 2024 Môn Toán (Luyện từng dạng bài bác kể từ cơ phiên bản cho tới 9 điểm)

XMAX: Luyện từng dạng bài bác áp dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kỹ năng và chữa trị đề Dự kiến 2024 Môn Toán (100 ngày)

XPLUS: Luyện giải đề đua trung học phổ thông 2024 Môn Toán

Các khoá học tập được dùng Tính từ lúc ngày đăng kí cho tới khi kì đua trung học phổ thông 2024 kết giục.

Khi $p>0$ tớ tiến hành luật lệ bịa đặt $x=k\left( t-\dfrac{1}{t} \right),\text{ }\left( k>0 \right)$ ví dụ như sau:

Xét phương trình \[{{x}^{3}}+px+q=0,\left( p>0 \right)\]

Đặt \[x=k\left( t-\dfrac{1}{t} \right)\] với $k$ là số thực dương được lựa chọn sau, khi cơ phương trình trở thành

\[{{k}^{3}}\left( {{t}^{3}}-\dfrac{1}{{{t}^{3}}}-3\left( t-\dfrac{1}{t} \right) \right)+pk\left( t-\dfrac{1}{t} \right)+q=0\]

\[\Leftrightarrow {{k}^{3}}\left( {{t}^{3}}-\dfrac{1}{{{t}^{3}}} \right)+\left( pk-3{{k}^{3}} \right)\left( t-\dfrac{1}{t} \right)+q=0\text{ }\left( 1 \right).\]

Chọn $k>0$ sao cho tới \[pk-3{{k}^{3}}=0\Leftrightarrow {{k}^{2}}=\dfrac{p}{3}\Leftrightarrow k=\sqrt{\dfrac{p}{3}}\]

\[\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow {{k}^{3}}\left( {{t}^{6}}-1 \right)+q{{t}^{3}}=0\Leftrightarrow {{t}^{6}}+\dfrac{q}{{{k}^{3}}}{{t}^{3}}-1=0.\]

Phương trình này còn có nhị nghiệm phân biệt \[{{t}_{1}}=\dfrac{-\dfrac{q}{{{k}^{3}}}-\sqrt{\dfrac{{{q}^{2}}}{{{k}^{6}}}+4}}{2},{{t}_{2}}=\dfrac{-\dfrac{q}{{{k}^{3}}}+\sqrt{\dfrac{{{q}^{2}}}{{{k}^{6}}}+4}}{2}\] và ${{t}_{1}}{{t}_{2}}=-1$

nên \[k\left( {{t}_{1}}-\dfrac{1}{{{t}_{1}}} \right)=k\left( {{t}_{2}}-\dfrac{1}{{{t}_{2}}} \right)=k\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)\]

Do cơ phương trình sở hữu nghiệm độc nhất \[x=k\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)=k\left[ \sqrt[3]{\dfrac{-\dfrac{q}{{{k}^{3}}}-\sqrt{\dfrac{{{q}^{2}}}{{{k}^{6}}}+4}}{2}}+\sqrt[3]{\dfrac{-\dfrac{q}{{{k}^{3}}}+\sqrt{\dfrac{{{q}^{2}}}{{{k}^{6}}}+4}}{2}} \right].\]

Ví dụ 1: Giải phương trình ${{x}^{3}}+12x+12=0.$

Đặt $x=2\left( t-\dfrac{1}{t} \right)\Rightarrow 8\left( {{t}^{3}}-\dfrac{1}{{{t}^{3}}}-3\left( t-\dfrac{1}{t} \right) \right)+24\left( t-\dfrac{1}{t} \right)+12=0$

\[\Leftrightarrow 8\left( {{t}^{6}}-1 \right)+12{{t}^{3}}=0\Leftrightarrow 8{{t}^{6}}+12{{t}^{3}}-8=0\Leftrightarrow t=-\sqrt[3]{2};t=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}.\]

Vậy phương trình sở hữu nghiệm độc nhất \[x=2\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}-\sqrt[3]{2} \right).\]

Ví dụ 2: Giải phương trình $-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-6x+1=0.$

Phương trình tương tự với: ${{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+3x-\dfrac{1}{2}=0.$

Đặt $x=y+\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{\left( y+\dfrac{1}{2} \right)}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{\left( y+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+3\left( y+\dfrac{1}{2} \right)-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow {{y}^{3}}+\dfrac{9}{4}y+\dfrac{3}{4}=0.$

Xem thêm: Bảng Giá Chó Chihuahua Chính Xác - Địa chỉ bán chihuahua giá ưu đãi

Đặt $y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( t-\dfrac{1}{t} \right)\Rightarrow {{\left[ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( t-\dfrac{1}{t} \right) \right]}^{3}}+\dfrac{9\sqrt{3}}{8}\left( t-\dfrac{1}{t} \right)+\dfrac{3}{4}=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{3\sqrt{3}}{8}\left( {{t}^{3}}-\dfrac{1}{{{t}^{3}}} \right)+\dfrac{3}{4}=0\Leftrightarrow {{t}^{6}}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}{{t}^{3}}-1=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt[6]{3}};t=-\sqrt[6]{3}.$

Vậy phương trình sở hữu nghiệm độc nhất $x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt[6]{3}}-\sqrt[6]{3} \right)+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\left( 1+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9} \right).$