Nguyên nồng độ giác là kiến thức và kỹ năng vô nằm trong cần thiết vô lịch trình toán cấp cho 3. Các công thức nguyên vẹn nồng độ giác có tương đối nhiều cường độ, kể từ hàm sơ cấp cho cho tới những công thức hàm phù hợp, Từ đó là thật nhiều dạng bài xích tập dượt không giống nhau. Marathon Education tiếp tục tổ hợp những công thức lượng giác cơ phiên bản, công thức nguyên nồng độ giác và những dạng bài xích tập dượt áp dụng tương quan qua chuyện nội dung bài viết sau.
>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Một Số Bài Tập Ví Dụ
Bạn đang xem: Nguyên Hàm Của Hàm Số Lượng Giác
Các công thức lượng giác cần thiết nhớ
\begin{aligned}
&\small\text{1. Hằng đẳng thức lượng giác:}\\
& \ \ \ \ \bull sin^2x+cos^2x=1\\
& \ \ \ \ \bull \frac{1}{sin^2x}=1+cot^2x\\
& \ \ \ \ \bull \frac{1}{cos^2x}=1+tan^2x\\
&\small\text{2. Công thức cộng:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin(a\pm b)=sina.cosb\pm sinb.cosa\\
& \ \ \ \ \ \bull cos(a\pm b)=cosa.cosb\mp sina.cosb\\
& \ \ \ \ \ \bull tan(a\pm b)=\frac{tana \pm tanb}{1\mp tana.tanb}\\
&\small\text{3. Công thức nhân đôi:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin2a=2sina.cosa\\
& \ \ \ \ \ \bull cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a\\
&\small\text{4. Công thức nhân ba:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin3a=3sina-4sin^3a\\
& \ \ \ \ \ \bull cos3a=4cos^3a-3cosa\\
&\small\text{5. Công thức hạ bậc:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin^2a=\frac{1-cos2a}{2}\\
& \ \ \ \ \ \bull cos^2a=\frac{1+cos2a}{2}\\
&\small\text{6.Công thức thay đổi tích trở thành tổng:}\\
& \ \ \ \ \ \bull cosa.cosb=\frac{1}{2}[cos(a-b)+cos(a+b)]\\
& \ \ \ \ \ \bull sina.sinb=\frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]\\
& \ \ \ \ \ \bull sina.cosb=\frac{1}{2}[sin(a-b)+sin(a+b)]\\
\end{aligned}
>>> Xem thêm: Hàm Số Lượng Giác – Lý Thuyết Và Các Công Thức
Bảng công thức nguyên vẹn nồng độ giác cơ bản
Bảng công thức nguyên vẹn nồng độ giác hàm số hợp
Bảng công thức nguyên vẹn nồng độ giác hàm số phù hợp u = u(x)
Bảng công thức nguyên vẹn nồng độ giác hàm số phù hợp u = ax + b
>>> Xem thêm: Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết
6 dạng nguyên vẹn nồng độ giác thông thường gặp gỡ và cách thức giải
Các việc mò mẫm nguyên nồng độ giác rất rất phong phú và đa dạng và phức tạp. Mỗi dạng sẽ có được cơ hội thay đổi và phía giải không giống nhau. Vì vậy, Marathon Education tiếp tục tổ hợp 6 dạng toán thông thường gặp gỡ nhất và cách thức giải của từng dạng để giúp đỡ những em nắm rõ những việc dạng này.
Dạng 1
I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}
- Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Dùng tương đồng thức:}\\
&1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\\
&\text{Từ bại suy ra:}\\
&I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\\
&\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\\
&\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C
\end{aligned}
Lưu ý
Với những này, tớ hoàn toàn có thể tìm ra những nguyên vẹn hàm:
\begin{aligned}
&\bull J=\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)} \text{ vì chưng những người sử dụng tương đồng thức }1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}.\\
&\bull K=\int\frac{dx}{sin(x+a)cos(x+b)} \text{ vì chưng những người sử dụng tương đồng thức }1=\frac{cos(a-b)}{cos(a-b)}.\\
\end{aligned}
- Ví dụ:
Tính nguyên vẹn hàm sau đây:
I=\int \frac{dx}{sinx.sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}
- Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
&1=\frac{sin\frac{\pi}{6}}{sin\frac{\pi}{6}}=\frac{sin\left[\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-x\right]}{\frac{1}{2}}=2\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)cosx-cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)sinx \right]\\
&\text{Từ đó:}\\
&I=2\int\frac{\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)cosx-cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)sinx \right]}{sinx.sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx\\
&\ \ =2\int \left[\frac{cosx}{sinx}-\frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right]dx\\
&\ \ =2\int\frac{d(sinx)}{sinx}-2\int\frac{d\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right]}{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\\
&\ \ =2ln\left|\frac{sinx}{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right|+C
\end{aligned}
Dạng 2
I=\int tan(x+a)tan(x+b)dx
- Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
& tan(x+a)tan(x+b)\\
&=\frac{sin(x+a)sin(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}\\
&=\frac{sin(x+a)sin(x+b)+cos(x+a)cos(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\\
&=\frac{cos(a-b)}{ cos(x+a)cos(x+b)}-1\\
&\text{Từ đó:}\\
&I=cos(a-b)\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\\
&\text{Đến phía trên, tớ gặp gỡ việc mò mẫm nguyên vẹn nồng độ giác ở \textbf{Dạng 1}.}
\end{aligned}
Lưu ý
Với những này, tớ hoàn toàn có thể tính được những nguyên vẹn hàm:
Xem thêm: Tổng hợp các ngày lễ, sự kiện trong tháng 12. Danh sách các ngày lễ tháng 12 ở Việt Nam và thế giới
\begin{aligned}
&\bull J=\int cot(x+a)cot(x+b)dx\\
&\bull K=\int tan(x+a)tan(x+b)dx
\end{aligned}
- Ví dụ:
Tính nguyên vẹn hàm sau đây:
K=\int tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)dx
- Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
&tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\\
&=\frac{sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\\
&=\frac{sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)- cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\
&=\frac{sin\left[ \left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(x+\frac{\pi}{6}\right) \right]}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\
&=\frac{1}{2}.\frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\
&\text{Từ đó:}\\
&K=\frac{1}{2}\int \frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx+\int dx\\
&\ \ \ \ =\frac{1}{2}K_1+x+C\\
&\text{Đến phía trên, bằng phương pháp tính ở dạng 1, tớ tính được:}\\
&K_1=\int \frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx=\frac{2}{\sqrt3}ln\left| \frac{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+C\\
&\text{Suy ra:}\\
&K=\frac{\sqrt3}{3}ln\left| \frac{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+x+C
\end{aligned}
Dạng 3
I=\int\frac{dx}{asinx+bcosx}
- Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
&asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx\right)\\
&\Rightarrow asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+\alpha)\\
&\Rightarrow I=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int \frac{dx}{sin(x+\alpha)}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} ln \left|tan\frac{x+\alpha}{2} \right|+C
\end{aligned}
- Ví dụ:
Tính nguyên vẹn hàm sau:
I=\int\frac{2dx}{\sqrt3 sinx+cosx}
- Bài giải:
\begin{aligned}
&I=\int\frac{2dx}{\sqrt3 sinx+cosx}=\int\frac{dx}{\frac{\sqrt3}{2} sinx+\frac{1}{2}cosx}=\int \frac{dx}{sinxcos\frac{\pi}{6}+cosxsin\frac{\pi}{6}}\\
& \ \ =\int \frac{dx}{sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}=\int \frac{d\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}{sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}=ln\left| tan\frac{x+\frac{\pi}{6}}{2} \right|+C=ln\left| tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12} \right) \right|+C
\end{aligned}
Dạng 4
I=\int\frac{dx}{asinx+bcosx}
- Phương pháp giải:
\text{Đặt }tan\frac{x}{2}=t \Rightarrow
\begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\
sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\
cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\
tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{cases}
- Ví dụ:
Tính nguyên vẹn hàm sau đây:
K=\int\frac{dx}{sinx+tanx}
- Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Đặt }tan\frac{x}{2}=t \Rightarrow
\begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\
sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\
tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{cases}\\
&\text{Từ đó:}\\
&K=\int \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{2t}{1-t^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{1-t^2}{t}dt=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}-\frac{1}{2}\int tdt\\
&\ \ \ = \frac{1}{2}ln|t|-\frac{1}{4}t^2+C= \frac{1}{2}ln\left|tan\frac{x}{2}\right|-\frac{1}{4}tan^2\frac{x}{2}+C
\end{aligned}
Dạng 5
I=\int\frac{dx}{asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x}
- Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&I=\int\frac{dx}{(atan^2x+btanx+c)cos^2x}\\
&\text{Đặt }tanx=t\Rightarrow \frac{dx}{cos^2x}=dt\\
&\text{Suy ra: }I=\int \frac{dt}{at^2+bt+c}
\end{aligned}
- Ví dụ:
Tính nguyên vẹn hàm bên dưới đây:
J=\int \frac{dx}{sin^2x-2sinxcosx-2cos^2x}
- Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Đặt }tanx=t \Rightarrow\frac{dx}{cos^2x}=dt\\
&\Rightarrow J=\int\frac{dt}{t^2-2t-2}=\int \frac{d(t-1)}{(t-1)^2-(\sqrt3)^2}=\frac{1}{2\sqrt3}ln\left|\frac{t-1-\sqrt3}{t-1+\sqrt3} \right|+C\\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2\sqrt3}ln\left|\frac{tanx-1-\sqrt3}{tanx-1+\sqrt3} \right|+C
\end{aligned}
Dạng 6
I=\int\frac{a_1sinx+b_1cosx}{a_2sinx+b_2cosx}dx
- Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta mò mẫm A, B sao cho:}\\
&a_1sinx+b_1cosx=A(a_2sinx+b_2cosx)+B(a_2cosx-b_2sinx)
\end{aligned}
- Ví dụ:
Tính nguyên vẹn hàm sau:
I=\int\frac{4sinx+3cosx}{sinx+2cosx}dx
- Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta mò mẫm A, B sao cho:}\\
&4sinx +3cosx=A(sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)\\
&\Rightarrow 4sinx+3cosx=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx \Rightarrow\begin{cases} A-2B=4\\
2A+B=3\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} A=2\\B=-1\end{cases} \\
&\text{Từ đó:}\\
&I=\int\frac{2(sinx+2cosx)-(cosx-2sinx)}{sinx+2cosx}dx\\
& \ \ =2\int dx-\int \frac{d(sinx+2cosx)}{sinx+2cosx}\\
& \ \ =2x-ln|sinx+cos2x|+C
\end{aligned}
Bài tập dượt nguyên vẹn nồng độ giác
1. Tính nguyên vẹn hàm sau
I=\lmoustache sin^3x.cosx\space dx
\begin{aligned}
& Ta\space có:\space sin^3x.cosxdx=\lmoustache sin^3x.d(sinx)\\
& Đặt\space u=sinx\space ta\space được:\\
& I=\lmoustache sin^3x.cosxdx=\lmoustache sin^3d(sinx)\\
& u^3du=\frac{u^4}{4}+c=\frac{sin^4x}{4}+C
\end{aligned}
2. Tính nguyên vẹn hàm
\intop \frac{cos^5x}{sinx}dx
\begin{aligned}
& \intop \frac{cos^5x}{sinx}dx=\intop \frac{(1-sin^2x)^2dsinx}{sinx}=\intop \bigg( \frac{1}{sinx}-2sinx+sin^3x \bigg)dsinx\\
&ln|sinx|-sin^2x+\frac{sin^4x}{4}+C
\end{aligned}
3. Tính nguyên vẹn hàm D
Xem thêm: Mercury (element)
D=\intop \frac{dx}{3cosx+5sinx+3}
\begin{aligned}
&Đặt\space tan\frac{x}{2}=t\\
&\rArr \begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\
cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{cases}\\
& Từ\space đó\space, D=\intop \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{3.\frac{1-t^2}{1+t^2}+5\frac{2t}{1+t^2}+3}
=\frac{2dt}{3-3t^2+10+3t+2t^2}=\intop\frac{2dt}{10t+6}\\
&=\frac{1}{5}\intop \frac{d(5t+3)}{5t+3}=\frac{1}{5}ln|5t+3|+C=\frac{1}{5}ln|5tan\frac{x}{2}=3|+C\\
\end{aligned}
Tham khảo ngay lập tức những khoá học tập online của Marathon Education
Trên đấy là những công thức nguyên nồng độ giác và những dạng toán thông thường gặp gỡ. Các em hoàn toàn có thể lưu về nhằm hoàn toàn có thể hoàn thiện bài xích tập dượt về chủ thể này nhanh gọn lẹ và hiệu suất cao rộng lớn.
Hãy contact ngay lập tức với Marathon và để được tư vấn nếu như những em mong muốn học online nâng lên kiến thức và kỹ năng nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong những bài xích đánh giá và kỳ ganh đua chuẩn bị tới!
Bình luận