Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

Trong lịch trình toán 8 liên kết trí thức, chân mây tạo ra, cánh diều những em sẽ tiến hành học tập những kỹ năng về đặc thù đàng phân giác của tam giác. Bài ghi chép sau đây tiếp tục tổ hợp kỹ năng những em cần thiết tóm nhập bài xích đặc thù đàng phân giác của tam giác lớp 8. Mời những em nằm trong theo đuổi dõi.

1. Tính hóa học đàng phân giác của tam giác

- Định lý: Trong một tam giác, đàng phân giác cảu một góc phân chia cạnh đối lập trở nên nhị đoạn trực tiếp tỉ lệ thành phần với nhị cạnh kề với nhị đoạn ấy.

Bạn đang xem: Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

- Chứng minh lăm le lý:

Vẽ đường thẳng liền mạch qua quýt B tuy nhiên song với AD và hạn chế AC bên trên điểm E như hình vẽ.

Theo fake thiết tớ với AD là đàng phân giác của $\large \widehat{BAD}$

=> $\large \widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$

Ta với BE // AD => $\large \widehat{A_{1}}=\widehat{B_{1}}$ ( nhị góc so sánh le trong) và $\large \widehat{A_{2}}=\widehat{E}$ (hai góc đồng vị)

=> $\large \widehat{B_{1}}=\widehat{E}$ => $\large \Delta AEB$ cân bên trên A.

=> AE = AB (1)

Áp dụng lăm le lý thales vào $\large \Delta CEB$ , tớ có:

$\large \frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}(2)$

Từ (1) và (2) => $\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}(dpcm)$

- Chú ý: Trong $\large \Delta$ ABC, nếu như D là vấn đề nằm trong đoạn BC và thỏa mãn $\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ thì AD là đàng phân giác của góc A.

2. Các dạng bài xích về đặc thù đàng phân giác của tam giác

2.1 Dạng bài xích tính chừng lâu năm cạnh, diện tích S, chu vi

Cách làm: gí dụng đặc thù đàng phân giác của tam giác, những tỉ lệ thành phần thức, lăm le lý thales, lăm le lý pytago để chuyển đổi và đo lường và tính toán.

Ví dụ: Cho $\large \Delta ABC$ có AB = 5cm, CA = 6cm, BC = 7cm. AE là tia phân giác của $\large \widehat{A}$ . Hãy tính đoạn EC, EB.

Lời giải: gí dụng đặc thù của đàng phân giác trong $\large \Delta ABC$ và đặc thù của sản phẩm tỉ số cân nhau tớ có:

$\large \frac{EB}{BA}=\frac{EC}{CA}=\frac{EB+EC}{BA+CA}=\frac{BC}{BA+CA}$

$\large \Rightarrow \frac{EB}{5}=\frac{EC}{6}=\frac{7}{11}\Rightarrow EB=\frac{35}{11}(cm);EC=\frac{42}{11}(cm)$

2.2 Dạng bài xích tính tỉ số chừng lâu năm, tỉ số diện tích

- Phươn pháp giải: gí dụng đặc thù đàng phân giác nhập tam giác và lập tỉ lệ thành phần thức Một trong những đoạn trực tiếp. gí dụng kỹ năng đại số hóa hình học tập, công thức và sản phẩm chiếm được kể từ công thức tính diện tích S tam giác.

- Ví dụ: Cho $\large \Delta ABC$ và những đàng phân giác BD và CE. Biết $\large \frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}; \frac{EA}{EB}=\frac{5}{6}$

Hãy tính những cạnh của $\large \Delta ABC$ , biết $\large \Delta ABC$ có chi vi là 45cm.

Lời giải:

Áp dụng đặc thù của những đàng phân giác BD và CE vào $\large \Delta ABC$ ta có:

$\large \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AB=4t & \\ BC=6t& \end{matrix}\right.(t > 0)$

$\large \frac{AC}{BC}=\frac{AE}{EB}=\frac{5}{6}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AC=5t & \\ BC=6t& \end{matrix}\right.$

Lại với chu vi của $\large \Delta ABC$ là 45 centimet, tớ có:

AB + BC + CA = 45 = 4t + 6t + 5t = 15t

=> t = 3

Vậy AB = 12cm; BC = 18cm ; CA = 15cm.

>> Xem thêm: Tổng phù hợp kỹ năng toán 8 cụ thể SGK mới

3. Bài tập luyện đặc thù đàng phân giác của tam giác toán 8 lịch trình mới

3.1 Bài tập luyện đặc thù đàng phân giác của tam giác toán 8 liên kết tri thức

Bài 4.10 trang 86 toán 8/1 liên kết tri thức

Trong Hình 4.24 có $\large \widehat{NPH}=\widehat{MPH}$ nên PH là tia phân giác của $\large \widehat{NPM}$

Áp dụng đặc thù đàng phân giác của tam giác, tớ có:

$\large \frac{MP}{NP}=\frac{MH}{NH}\Leftrightarrow \frac{5}{x}=\frac{3}{5,1}$

$\large \Rightarrow x=\frac{5.5,1}{3}=8,5$

Bài 4.11 trang 86 toán 8/1 liên kết tri thức

Theo đề bài xích, đàng phân giác nhập của góc A hạn chế BC bên trên D nên AD là tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$

Áp dụng đặc thù đàng phân giác của tam giác, tớ có:

$\large \frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\Leftrightarrow \frac{4,5}{7}=\frac{DB}{DC} \Leftrightarrow \frac{DB}{4,5}=\frac{DC}{7}$

Áp dụng đặc thù sản phẩm tỉ số cân nhau, tớ có:

$\large \frac{DB}{4,5}=\frac{DC}{7}\Leftrightarrow \frac{DB+DC}{4,5+7}=\frac{BC}{11,5}=\frac{3,5}{11,5}=\frac{7}{23}$

$\large \Rightarrow DC=\frac{7.7}{23}=\frac{49}{23}\approx 2,1(m)$

Bài 4.12 trang 86 toán 8/1 liên kết tri thức

Theo đề bài xích, ABCD là hình vuông vắn nên AB = AD và AC là tia phân giác của $\large \widehat{BAD}$ .

Vì M là trung điểm của AB

$\large \Rightarrow AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AD\Rightarrow \frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$

Vì AC là tia phân giác của $\large \widehat{BAD}$ hoặc AI là tia phân giác của $\large \widehat{MAD}$ , vận dụng đặc thù đàng phân giác nhập $\large \Delta$ ADM, tớ có:

$\large \frac{AM}{AD}=\frac{IM}{ID}=\frac{1}{2}\Rightarrow ID=2IM$

Ta với I là vấn đề bắt gặp nhau nên Mai theo đuổi quãng đàng XiaoMI còn Dung theo đuổi quãng đàng DI.

Ta với S = v.t. Mà quãng đàng Dung chuồn cấp gấp đôi quãng đàng Mai chuồn, véc tơ vận tốc tức thời của 2 chúng ta như nhau nên thời hạn Dung chuồn đàng tiếp tục cấp gấp đôi thời hạn Mai chuồn đàng thì mới có thể bắt gặp nhau bên trên điểm I.

Dung bắt gặp Mai khi 7h30p nên thời hạn Mai chuồn bên trên quãng đàng XiaoMI là: 7h30 - 7h = 30p

Khi tê liệt thời hạn Dung chuồn là 1h => Thời lừa lọc Dung khởi đầu từ nhà: 7h30 - 1h = 6h30p.

Vậy dung khởi đầu từ khi 6h30p nhằm bắt gặp Mai khi 7h30p bên trên điểm I.

3.2 Bài tập luyện đặc thù đàng phân giác của tam giác toán 8 chân mây sáng sủa tạo

Bài 1 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) Trong $\large \Delta$ ABC, tớ với AD là đàng phân giác góc A nên tớ có

$\large \frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}\Leftrightarrow \frac{x}{2,4}=\frac{5}{3}$

$\large \Rightarrow x=\frac{5.2,4}{3}=4$

b) Trong $\large \Delta$ EFG, tớ với EH là đàng phân giác góc E nên tớ có

$\large \frac{HG}{HF}=\frac{EG}{EF}\Leftrightarrow \frac{x}{20-x}=\frac{18}{12}$

$\large \Rightarrow 12x=18(20-x)\Rightarrow x=\frac{18.20}{30}=12$

c) Trong t $\large \Delta$ PQR, tớ với RS là đàng phân giác góc R nên tớ có

$\large \frac{SP}{SQ}=\frac{PR}{QR}\Leftrightarrow \frac{5}{6}=\frac{10}{x}$

$\large \Rightarrow x=\frac{6.10}{5}=12$

Bài 2 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) $\large \Delta$ ABC với AD là đàng phân giác

$\large \Rightarrow \frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}$

Áp dụng đặc thù sản phẩm tỉ số cân nhau, tớ có:

$\large \frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{DB+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{8}=\frac{DC}{6}=\frac{10}{8+6}$

$\large \Rightarrow DB=\frac{40}{7}cm;BC=\frac{30}{7}cm$

b) Vẽ AH ⊥ BC tại H

$\large \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AH.DB}{\frac{1}{2}AH.DC}= \frac{DB}{DC}=\frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}}=\frac{4}{3}$

Bài 3 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) Trong $\large \Delta$ ABC, tớ có: AD là tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Lại có AB = 15 cm; AC = trăng tròn centimet.

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{15}{20}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DB+DC}=\frac{15}{15+20}\Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{15}{35}$

$\large \Rightarrow DB=\frac{15}{35}.25=\frac{75}{7}cm$

$\large \Rightarrow DC=BC-DB=25-\frac{75}{7}=\frac{100}{7}cm$

Xét $\large \Delta$ ABC với DE // AB, theo đuổi hệ trái khoáy lăm le lí Thalès, tớ có:

$\large \frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BC}\Rightarrow \frac{DE}{15}=\frac{\frac{100}{7}}{25}$

$\large \Rightarrow DE=\frac{60}{7}$

b) Xét $\large \Delta$ ABC tớ có: AB = 15 centimet, AC = trăng tròn centimet, BC = 25 centimet.

Nên BC² = AB² + AC² => $\large \Delta$ ABC vuông bên trên A.

Khi tê liệt, tớ có:

$\large S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.AB=\frac{1}{2}.20.15=150cm^{2}$

Vậy diện tích $\large \Delta$ ABC là 150 cm².

c) Kẻ AH ⊥ BC ta có:

$\large \frac{A_{ADB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{DB}{DC}=\frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}}=\frac{4}{3}$

$\large \Rightarrow S_{ADB}=\frac{3}{7}.S_{ABC}=\frac{3}{7}.150=\frac{450}{7}cm$

$\large \frac{A_{DCE}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}CE.DE}{\frac{1}{2}AC.AB}=\left ( \frac{DE}{AB} \right )^{2}=\left ( \frac{\frac{60}{7}}{25} \right )^{2}=\frac{144}{1225}$

$\large \Rightarrow S_{DCE}=\frac{144}{1225}.S_{ABC}=\frac{144}{1225}.150=\frac{864}{49}cm^{2}$

$\large \Rightarrow S_{ADE}=S_{ABC}-S_{ADB}-S_{DCE}$

$\large =150-\frac{450}{7}-\frac{864}{49}=\frac{3336}{49}cm^{2}$

Vậy $\large S_{ADB}=\frac{450}{7}cm^{2};S_{DCE}=\frac{864}{49}cm^{2};S_{ADE}=\frac{3336}{49}cm^{2}$

Xem thêm: Đôla Zimbabwe ở Việt Nam: 100.000 tỷ đổi 500.000 đồng

Bài 4 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) $\large \Delta$ ABC vuông bên trên A, vận dụng lăm le lí Pythagore, tớ có:

BC² = AC² + AB² => BC = 5 cm

AD là tia phân giác góc A nên:

$\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

$\large \Rightarrow 4DB=15-3DB\Rightarrow DB=\frac{15}{7}cm$

Do đó: $\large DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}cm$

Vậy BC = 5cm ; DB = 15/7 cm; DC = 20/7 centimet.

b. Ta có: $\large S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC$

$\large \Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}cm$

Tam giác ABH vuông bên trên H nên:

$\large HB=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{3^{2}-\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{9}{5}cm$

Ta có: HD = DB - HB = 15/7 - 9/5 = 12/35 centimet.

$\large AD=\sqrt{HD^{2}+AH^{2}}=\sqrt{\left ( \frac{12}{35} \right )^{2}+\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}cm$

Vậy AH = 12/5 cm; HD = 12/35 cm; $\large AD=\frac{12\sqrt{2}}{7}cm$

Bài 5 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

• Xét $\large \Delta$ ABM với MD là đàng phân giác $\large \widehat{AMB}$

$\large \Rightarrow \frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB}$

• Xét $\large \Delta$ ACM với ME là đàng phân giác $\large \widehat{AMC}$

$\large \Rightarrow \frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MC}$

Mà MB = MC, tự đó: $\large \Rightarrow \frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}$ , theo đuổi lăm le lí Thalès hòn đảo tớ có: DE // BC.

3.3 Bài tập luyện đặc thù đàng phân giác của tam giác toán 8 cánh diều

Bài 1 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Áp dụng đặc thù đàng phân giác mang lại $\large \Delta$ ABC, tớ có:

AD là đàng phân giác của góc BAC

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{BD}{5-BD}=\frac{4}{6}$

=> 6BD = 4(5 – BD)

<=> 6BD = trăng tròn – 4BD <=> 6BD + 4BD = 20

<=> 10BD = 20 <=> BD = 2.

BE là đàng phân giác của góc ABC

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}\Rightarrow \frac{EC}{AC-EC}=\frac{BC}{BA}\Leftrightarrow \frac{CE}{6-CE}=\frac{5}{4}$

=> 4CE = 5(6 – CE)

<=> 4CE = 30 – 5CE <=> 4CE + 5CE = 30

<=> 9CE = 30 <=> CE = 30/9 = 10/3

CF là đàng phân giác của góc ACB

$\large \Rightarrow \frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}\Rightarrow \frac{FA}{AB-FA}=\frac{CA}{CB}\Leftrightarrow \frac{AF}{4-AF}=\frac{6}{5}$

=> 5AF = 6(4 – AF) <=> 5AF = 24 – 6AF

<=> 5AF + 6AF = 24 <=> 11AF = 24

<=> AF=24/11

Vậy BD = 2; CE=10/3; AF = 24/11.

Bài 2 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Theo đặc thù đàng phân giác nhập tam giác, tớ có:

BE là đàng phân giác của góc ABC nhập $\large \Delta$ ABC

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}$

BD là đàng phân giác của góc ABM nhập $\large \Delta$ ABM

$\large \Rightarrow \frac{DM}{DA}=\frac{BM}{BA}$

Mà BC = 2BM (do AM là đàng trung tuyến của $\large \Delta$ ABC)

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}=2\frac{BM}{BA}=2\frac{DM}{DA}$

Vậy $\large \frac{EC}{EA}=2\frac{DM}{DA}$

Bài 3 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

AD là đàng phân giác của góc BAC nhập $\large \Delta$ ABC

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

AE là đàng phân giác của góc BAG nhập $\large \Delta$ ABG

$\large \Rightarrow \frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AG}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AC}:\frac{AB}{AG}=\frac{AB}{AC}.\frac{AG}{AB}=\frac{AG}{AC}$

Vậy $\large \frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AG}{AC}$

Bài 4 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Do ABCD là hình thoi nên AD = AB và AC là đàng phân giác của góc BAC.

Xét $\large \Delta$ AMD với AN là đàng phân giác góc MAD

$\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AD}{AM}$

Hay $\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AD}{\frac{1}{3}AB}$ (vì AB = 3AM)

$\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AB}{\frac{1}{3}AB}=3$

Vậy ND = 3MN.

Bài 5 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

a) Xét tam giác ABC vuông bên trên A, theo đuổi lăm le lí Pythagore, tớ có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 = 5²

Suy đi ra BC = 5.

Do AD là đàng phân giác của $\large \widehat{BAC}$ , theo đuổi đặc thù đàng phân giác nhập tam giác, tớ có:

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

Do tê liệt 4DB = 3(5 – DB) <=>4DB = 15 – 3DB

<=> 4DB + 3DB = 15 <=> 7DB = 15 <=> DB = 15/7

Khi đó: $\large DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}$

Vậy BC = 5; DB = 15/7 ; DC = 20/7.

b) Kẻ DH ⊥ AC (H ∈ AC).

Suy đi ra DH // AB (cùng vuông góc với AC)

Áp dụng hệ trái khoáy của lăm le lí Thalès nhập tam giác ABC với DH // AB, tớ có:

$\large \frac{DH}{BA}=\frac{CD}{CB} \Leftrightarrow \frac{DH}{3}=\frac{\frac{20}{7}}{5}$

$\large \Rightarrow DH=\frac{3\frac{20}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Vậy khoảng cách kể từ điểm D cho tới đường thẳng liền mạch AC là DH=12/7.

c) Xét tam giác ABC với DH // AB, tớ có:

$\large \frac{AH}{AC}=\frac{BD}{BC}$ (hệ trái khoáy của lăm le lí Thalès)

$\large \Rightarrow \frac{AH}{4}=\frac{\frac{15}{7}}{5}\Rightarrow AH=\frac{4.\frac{15}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Xét tam giác AHD vuông bên trên H, tớ có: AD² = AH² + DH² (định lí Pythagore)

$\large \Rightarrow AD^{2}=\left ( \frac{12}{7} \right )^{2}+\left ( \frac{12}{7} \right )^{2}=\frac{288}{49}$

$\large \Rightarrow AD=\sqrt{\frac{288}{49}}=\sqrt{\frac{144.2}{49}}=\sqrt{\left ( \frac{12\sqrt{2}}{7} \right )^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$

Bài 6 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Theo đặc thù đàng phân giác nhập nhị tam giác ACD và BCD, tớ có:

AE là đàng phân giác của góc CAD

$\large \Rightarrow \frac{EC}{ED}=\frac{AC}{AD}(1)$

BE là đàng phân giác của góc CBD

$\large \Rightarrow \frac{EC}{ED}=\frac{BC}{BD}(2)$

Từ (1) và (2)

$\large \Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}$

Vậy AD.BC = AC.BD.

Trên đó là những kỹ năng về tính hóa học đàng phân giác của tam giác lớp 8 nhập lịch trình toán 8 liên kết trí thức, chân mây tạo ra và cánh diều. Hình như VUIHOC chỉ dẫn những em cơ hội giải những bài xích tập luyện nhập sách giáo khoa. Truy cập tnict.vn nhằm update thêm thắt nhiều kỹ năng toán 8 có ích nhé những em!

>> Mời chúng ta tìm hiểu thêm thêm:

Xem thêm: 5 loại đồ uống giúp kiểm soát mỡ bụng, giảm cân

Hình thoi và hình vuông

Định lí Thalès nhập tam giác

Đường tầm của tam giác