Bài 8: Thể tích khối cầu

I. Lý thuyết
Cho khối cầu nửa đường kính R
\(V=\frac{4}{3}\pi .R^3\)

II. Bài tập
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính thể tích khối cầu.
a) Ngoại tiếp hình lập phương
b) Nội tiếp hình lập phương.
Giải

Bạn đang xem: Bài 8: Thể tích khối cầu

a) Bán kính khối cầu nước ngoài tiếp hình lập phương là
\(R=\frac{1}{2}AC'=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(V_1=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi .\frac{a^3.3\sqrt{3}}{8}=\frac{a^3\pi .\sqrt{3}}{2}\)(đvtt)

b)
 Khối cầu nội tiếp hình lập phương sở hữu buôn bán kính

\(2r=a\Leftrightarrow r=\frac{a}{2}\)
Thể tích khối cầu 
\(V_2=\frac{4}{3}\pi .r^3=\frac{4}{3}\pi .\frac{a^3}{8}=\frac{\pi a^3}{6}\) (đvtt)
​Ví dụ 2: Thể tích của khối cầu tiếp tục thay cho thay đổi ra làm sao nếu như.
a) Tăng nửa đường kính lên k thứ tự.
b) Giảm nửa đường kính k thứ tự.

Xem thêm: 1 tấn bằng bao nhiêu tạ, yến, kg

Giảm
a)
\(R_1=k.R_2\)
\(\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3_1}{\frac{4}{3}.\pi .R^3_2}= \left ( \frac{R_1}{R_2} \right )^3=k^3\)
Nếu tăng nửa đường kính lên k thứ tự thì thể tích khối cầu tăng cấp k³ thứ tự.
b)
\(R_1=\frac{1}{k}.R_2\)
\(\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi .R^3_1}{\frac{4}{3}\pi .R^3_2}= \left ( \frac{R_1}{R_2} \right )^3=\frac{1}{k^3}\)
Nếu hạn chế nửa đường kính k thứ tự thì thể tích khối cầu hạn chế k³ thứ tự.
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABC có \(SA\perp (ABC), AB=a, AC=b,\widehat{BAC}=60^0\). H, K l³ h/c của A bên trên SB, SC.
a) CMR: 5 điểm A, B, C, H, K nằm trong tuỳ thuộc một phía cầu.
b) Tính thể tích khối cầu cơ.
Giải

Xem thêm: 6 cách đuổi muỗi tự nhiên nhanh chóng và vô cùng hiệu quả

a)
Gọi M, N theo lần lượt là trung điểm AB, AC
Kẻ đàng trung trực Mx của cạnh AB nhập (ABC) 
Ta sở hữu (SAB) \(\perp\) (ABC), sở hữu phó tuyến là AB nên Mx \(\perp\) (SAB) hoặc Mx \(\perp\) (AHB)
Vậy Mx là trục đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác AHB
Tương tự động kẻ Ny là đàng trung trực của cạnh AC nhập tam giác (ABC)
ta sở hữu Ny là trục đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác AKC
Trong (ABC)
\(Mx\cap Ny=I\)
I là tâm đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác ABC
\(\left.\begin{matrix} I\in Mx\Rightarrow IA=IH=IB\\ I\in Ny\Rightarrow IA=IK=IC \end{matrix}\right\}\)
5 điểm A, B, C, H, K nằm trong tuỳ thuộc mặt mũi cầu tâm I
b) 

R = IA
Trong tam giác ABC
\(BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cos60^0=a^2+b^2-ab\)
\(R=\frac{BC}{2 sin\widehat{A}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2-ab}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}} =\sqrt{\frac{a^2+b^2-ab}{3}}\)
\(V=\frac{4}{3}.\pi .R^3=\frac{4}{3}.\pi \frac{a^2+b^2-ab}{3}.\sqrt{\frac{a^2+b^2-ab}{3}}\)