Trọng tâm là gì? Tính chất trọng tâm tam giác

Trọng tâm tam giác là 1 nhập số kiến thức và kỹ năng cần thiết được học tập kể từ lớp 7. Vậy trọng tâm là gì? Cách xác lập trọng tâm tam giác như vậy nào? Mời chúng ta nằm trong theo dõi dõi nội dung bài viết sau đây của Download.vn.

Trong bài học kinh nghiệm ngày hôm nay công ty chúng tôi tiếp tục ra mắt cho tới chúng ta học viên toàn cỗ kiến thức và kỹ năng về trọng tâm tam giác, đặc điểm trọng tâm tam giác tất nhiên một vài dạng bài bác tập luyện sở hữu đáp án giải cụ thể tất nhiên. Hi vọng phía trên được xem là mối cung cấp tư liệu hữu ích, hùn những em gia tăng kĩ năng giải toán nhằm đạt được thành quả cao trong số bài bác đánh giá, bài bác ganh đua sắp tới đây. Trong khi chúng ta coi thêm thắt Các tình huống cân nhau của nhị tam giác.

Bạn đang xem: Trọng tâm là gì? Tính chất trọng tâm tam giác

1. Định nghĩa Trọng tâm tam giác

Trọng tâm của tam giác là phú điểm của phụ thân lối trung tuyến của tam giác đó

Theo sách giáo khoa hiện nay hành, từ thời điểm năm học tập lớp 7 học viên đã và đang được xúc tiếp với trọng tâm. Định nghĩa trọng tâm được sách giáo khoa ghi lại như sau: “Trong 1 tam giác sở hữu 3 lối trung tuyến. 3 lối trung tuyến này nằm trong trải qua một điểm, đặc điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác”.

Ví dụ: tam giác ABC với 3 lối trung tuyến thứu tự là AM, BN, CP. 3 lối trung tuyến của tam giác ABC này thứu tự trải qua phú điểm G. G đó là trọng tâm của tam giác ABC.

Tam giác ABC sở hữu những lối trung tuyến AM, BN, CP nằm trong trải qua G.

Điểm G gọi là trọng tâm tam giác ABC.

2. Tính hóa học trọng tâm tam giác

Tính hóa học của trọng tâm tam giác là: Khoảng cơ hội kể từ trọng tâm cho tới 3 đỉnh của tam giác bởi 2/3 phỏng nhiều năm lối trung tuyến ứng với đỉnh bại.

Giả sử, tam giác ABC sở hữu 3 lối trung tuyến là AM, BN, CP với G là trọng tâm như hình. Theo đặc điểm bên trên, tao có:

Tam giác ABC sở hữu G là trọng tâm

Khi bại, tao có:

$G A=\frac{2}{3} A M ; G B=\frac{2}{3} B N ; G C=\frac{2}{3} C P$

Ví dụ: Cho tam giác ABC sở hữu trọng tâm G. hiểu AM là lối trung tuyến với M nằm trong cạnh BC và AM = 12cm. Tính phỏng nhiều năm đoạn AG và GM?

Ngoài đi ra, tất cả chúng ta còn một vài hằng đẳng thức không giống tương quan cho tới trọng tâm tam giác. Xét theo dõi góc cạnh, điểm G phân chia từng lối trung tuyến trở nên 3 phần cân nhau.

- Đối với lối trung tuyến AM, tao có:

AM = 3 GM; AM = $\frac{3}{2}$ AG; AG = 2 GM; GM = $\frac{1}{2}$ AG,…

- Đối với lối trung tuyến BN, tao có:

BN = 3 GN; BN = $\frac{3}{2}$ BG; BG = 2 GN; GN = $\frac{1}{2}$ BG,…

- Đối với lối trung tuyến CP, tao có:

CP = 3 GP; CP = $\frac{3}{2}$ CG; CG = 2 GP; GP = $\frac{1}{2}$ CG,…

3. Cách xác lập trọng tâm tam giác

Để xác lập trọng tâm của một tam giác tao thực hiện:

Cách 1:

Tìm trung điểm M của BC sao mang đến MC = MB
Nối A với M tao được lối trung tuyến AM.
Tương tự động với những lối trung tuyến còn sót lại.
Giao 3 lối trung tuyến là vấn đề G. Suy đi ra G đó là trọng tâm tam giác ABC.

Cách 2:

Tìm trung điểm M của BC sao mang đến MC = MB
Nối A với M tao được lối trung tuyến AM.
Trên đoạn trực tiếp AM lấy điểm G sao cho: $AG\ =\ \frac{2}{3}AM$
Vậy theo dõi đặc điểm trọng tâm tao sở hữu G đó là trọng tâm tam giác ABC.

Cho tam giác ABC sở hữu AM, BN, CP thứu tự là phụ thân lối trung tuyến bên trên đỉnh A, B, C. Ta sở hữu phú của phụ thân lối trung tuyến là vấn đề G. Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta sở hữu tính chất:

$\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM} \Rightarrow AG=\dfrac{2}{3} AM$

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

4. Trọng tâm của những hình học tập quánh biệt

A. Trọng tâm tam giác vuông

Tam giác ABC vuông bên trên B, kể từ B vẽ lối trung tuyến BA, vì thế BA là lối trung tuyến của góc vuông nên: BA = một nửa CD=AD = AC.

Vậy tam giác ADB và tam giác ABC thứu tự cân nặng bên trên A,

B. Trọng tâm tam giác cân

Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A, G là trọng tâm tam giác ABC. Vì tam giác cân nặng bên trên A, nên AG một vừa hai phải là lối trung tuyến, một vừa hai phải là lối cao và là lối phân giác của tam giác ABC.

Hệ quả:

$- \widehat{BAG}=\widehat {CAG}$

- AG vuông góc với BC.

C. Trọng tâm tam giác đều

Xem thêm: Câu chuyện và ý nghĩa tượng Phật 4 Mặt tại Thái Lan

Cho tam giác ABC đều, G là phú điểm phụ thân lối trung tuyến. Theo đặc điểm của tam giác đều tao sở hữu G một vừa hai phải là trọng tâm, trực tâm, tâm lối tròn xoe nước ngoài tiếp và nội tiếp của tam giác ABC.

D. Trọng tâm tứ diện

Ta sở hữu G là trọng tâm tứ diện ABCD.

Trọng tâm tứ diện là phú điểm của tứ đường thẳng liền mạch nối đỉnh và trọng tâm của tam giác đối lập.

5. Bài tập luyện trọng tâm của tam giác

Bài tập luyện 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM = công nhân. BM hạn chế công nhân bên trên G. Chứng minh tam giác ABC cân nặng bên trên A

Lời giải:

Vì BM và công nhân là hai tuyến phố TT của tam giác tuy nhiên BM phú công nhân bên trên G, nên tao có:

$\dfrac{BG}{BM}=\dfrac{CG}{CN}=\dfrac{2}{3}$

Mà BM = công nhân nên BG = công nhân và GN = GM

Xét ∇ BNG và $\Delta CGM$ tao có:

BG = CN

GN = GM

$\widehat{BGN}= \widehat{CGM}$ ( 2 góc đối đỉnh)

Suy đi ra : $\Delta$ BNG đồng dạng $\Delta$ CMG

Suy ra: BN = CM (1)

mà M và N thứu tự là trung điểm của AB và AC (2)

Từ (1) và (2) tao sở hữu AB = AC => Tam giác ABC cân nặng bên trên A( đpcm).

Bài tập luyện 2

Cho I là trọng tâm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: IM = IN = IP.

Lời giải:

Vẽ hình:

Gọi trung điểm MN, MP, PN thứu tự là R, O, S.

Khi bại MS, quảng cáo, NO đồng quy bên trên trọng tâm I.

Ta sở hữu ∆MNP đều, suy ra:

MS = quảng cáo = NO (1).

Vì I là trọng tâm của ∆ABC nên theo dõi đặc điểm lối trung tuyến:

MI = 2/3 MS, PI = 2/3 quảng cáo, NI = 2/3 NO (2).

Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC.

Bài tập luyện 3: Tam giác ABC sở hữu trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính phỏng nhiều năm đoạn AI?

Lời giải

Vẽ hình minh họa

Ta sở hữu I là trọng tâm của tam giác ABC và AD là lối trung tuyến nên AI = (2/3) AD (theo đặc điểm phụ thân lối trung tuyến của tam giác).

Xem thêm: 1 tấn bằng bao nhiêu tạ, yến, kg

Do đó: AG = (2/3).9 = 6 (cm).

Vậy đoạn AI có tính nhiều năm 6 centimet.

Như vậy, với những kiến thức và kỹ năng cơ phiên bản và bài bác tập luyện rèn luyện thích nghi rằng bên trên, Download.vn mong muốn độc giả đang được sở hữu cho bản thân mình sự nắm vững chắc chắn về trọng tâm. Nắm vững vàng những kiến thức và kỹ năng về trọng tâm nhằm hoàn toàn có thể giải những bài bác tập luyện hình học tập kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên.