Bài tập viết Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Bài tập luyện viết lách Phương trình mặt mũi bằng phẳng theo dõi đoạn chắn sở hữu đáp án chi tiết

Dưới đó là một vài bài bác tập luyện viết lách phương trình mặt mũi phăng theo dõi đoạn chắn sở hữu đáp án

Bài tập luyện 1: Cho điểm $A\left( 3;0;0 \right)$ và điểm $M\left( 0;2;-1 \right).$Viết phương trình mặt mũi bằng phẳng $\left( \alpha  \right)$đi qua A, M sao mang đến $\left( \alpha  \right)$cắt những trục $Oy$, $Oz$ theo lần lượt bên trên những điểm B, C sao mang đến ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{2},$ với O là gốc tọa chừng.

Lời giải chi tiết

Bạn đang xem: Bài tập viết Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Giả sử mặt mũi bằng phẳng $\left( \alpha  \right)$cắt những trục $Oy$; $Oz$ lần lượt bên trên $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$

Phương trình mặt mũi bằng phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ $\left( bc\ne 0 \right)$

Do $\left( \alpha  \right)$đi qua chuyện điểm$M\left( 0;2;-1 \right)$ nên $\frac{2}{b}-\frac{1}{c}=1\Rightarrow \frac{1}{c}=\frac{2}{b}-1=\frac{2-b}{b}\Rightarrow c=\frac{b}{2-b}$

Lại có: ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}OA.OB.OC=\frac{1}{6}.3\left| bc \right|=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left| bc \right|=1$

Khi đó: $\left| b.\frac{b}{2-b} \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{b}^{2}}=2-b \\  {} {{b}^{2}}=b-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} b=1 \\  {} b=-2 \\ \end{array} \right.$

Với $b=1\Rightarrow c=1\Rightarrow \left( \alpha  \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1$

Với $b=-2\Rightarrow c=\frac{-1}{2}\Rightarrow \left( \alpha  \right):\frac{x}{3}-\frac{y}{2}-2z=1$

Bài tập luyện 2: Cho điểm $A\left( -1;0;0 \right)$ và mặt mũi bằng phẳng $\left( P.. \right):x+2y+2=0$. Viết phương trình mặt mũi bằng phẳng cút qua A, vuông góc với $\left( P.. \right)$ và hạn chế những trục $Oy$, $Oz$ theo lần lượt bên trên những điểm B, C sao mang đến ${{S}_{ABC}}=\frac{3}{2}$

Lời giải chi tiết

Giả sử mặt mũi bằng phẳng $\left( \alpha  \right)$ hạn chế những trục $Oy$, $Oz$ theo lần lượt bên trên $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$

Phương trình mặt mũi bằng phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{-1}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ $\left( bc\ne 0 \right)$

Do $\left( ABC \right)\bot \left( P.. \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{ABC}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( P.. \right)}}}=0\Rightarrow -1+\frac{2}{b}=0\Rightarrow b=2$

Khi đó: $\overrightarrow{AB}\left( 1;2;0 \right);\overrightarrow{AC}\left( 1;0;c \right)\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{\sqrt{5{{c}^{2}}+4}}{2}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow {{c}^{2}}=1\Leftrightarrow c=\pm 1$

Suy đi ra $\left( ABC \right):-x+\frac{y}{2}\pm \frac{z}{1}=1$

Bài tập luyện 3: Cho mặt mũi bằng phẳng $\left( P.. \right):2x-y+z-5=0$. Viết phương trình $\left( Q \right)$ chứa chấp lối $\Delta =\left( P.. \right)\cap \left( xOy \right)$ và hạn chế những trục tọa chừng tại A, B, C sao mang đến ${{V}_{OABC}}=\frac{125}{36}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left( xOy \right):z=0\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}  {} x=t \\  {} y=-5+2t \\  {} z=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;2;0 \right)$

Do $\left( Q \right)$ chứa chấp đường thẳng liền mạch $\Delta \Rightarrow \left( Q \right)$ qua chuyện điểm $\left( 0;-5;0 \right)$

Giả sử $\left( Q \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{-5}+\frac{z}{c}=1$$\left( a;c\ne 0 \right)$$\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( \frac{1}{a};-\frac{1}{5};\frac{1}{c} \right)$

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Rightarrow \frac{1}{a}-\frac{2}{5}=0\Rightarrow a=\frac{5}{2}$

Lại có: ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}\left| abc \right|=\frac{125}{36}\Rightarrow \frac{1}{6}\left| \frac{5}{2}.5.c \right|=\frac{125}{36}\Rightarrow c=\pm \frac{5}{3}\Rightarrow \left( ABC \right):\frac{2}{5}x-\frac{y}{5}\pm \frac{3}{5}z=1$

Hay $2x-y\pm 3z-5=0$

Bài tập luyện 4: Cho nhị điểm $M\left( 1;2;1 \right)$, $N\left( -1;0;-1 \right)$. Viết $\left( P.. \right)$ cút qua M, N và hạn chế những trục $Ox$, $Oy$ theo dõi tứ tự động tại A, B (khác O) sao mang đến $AM=\sqrt{3}BN$

Lời giải chi tiết

Gọi $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$ là phú điểm của $\left( P.. \right)$ với những trục tọa độ

Phương trình mặt mũi bằng phẳng $\left( P.. \right)$ là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$\left( abc\ne 0 \right)$

Do $\left( P.. \right)$ trải qua những điểm $M\left( 1;2;1 \right)$, $N\left( -1;0;-1 \right)$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1 \\  {} \frac{-1}{a}-\frac{1}{c}=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=-1 \\  {} \frac{2}{b}=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} \frac{1}{a}+\frac{1}{c}=-1 \\  {} b=1 \\ \end{array} \right.$

Lại có: $AM=\sqrt{3}BN\Leftrightarrow A{{M}^{2}}=3B{{N}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+4+1=3\left[ \left( 1+{{b}^{2}}+1 \right) \right]=9$

$\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a=3\Rightarrow c=\frac{-3}{4} \\  {} a=-1\Rightarrow \frac{1}{c}=0\left( loai \right) \\ \end{array} \right.$

Khi cơ $\left( P.. \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{1}-\frac{4z}{3}=1$ hoặc $\left( P.. \right):x+3y-4z-3=0$

Xem thêm: Cách điều trị dứt điểm nấm móng tay, móng chân đơn giản và hiệu quả

Bài tập luyện 5: Cho nhị điểm $M\left( 1;9;4 \right)$. Viết $\left( P.. \right)$ cút qua M và hạn chế những trục tọa chừng theo dõi loại thự tại A, B, C (khác O) sao mang đến $8.OA=12.OB+16=37.OC$, với ${{x}_{A}}>0;{{y}_{B}}>0;{{z}_{C}}<0$

Lời giải chi tiết

Gọi $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$ với $a>0;b>0;c<0$

Khi cơ phương trình mặt mũi bằng phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Do $M\left( 1;9;4 \right)\in \left( ABC \right)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{9}{b}+\frac{4}{c}=1$

Mặt không giống $OA=\left| a \right|=a;OB=\left| b \right|=b;OC=\left| c \right|=-c$ bởi $a>0;b>0;c<0$

Do $8.OA=12.OB+16=37.OC\Rightarrow 8a=12b+16=-37c$

Ta có: $8a=12b+16=-37c\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{9}{\frac{8a-16}{12}}+\frac{4}{-\frac{8}{37}a}=1\Leftrightarrow \frac{35-4a}{{{a}^{2}}-2a}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a=5 \\  {} a=-7\left( loai \right) \\ \end{array} \right.$

Với $a=5\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} b=2 \\  {} c=\frac{-40}{37} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left( P.. \right):\frac{x}{5}+\frac{y}{2}-\frac{37}{40}z=1$hay $\left( P.. \right):8x+20y-37z-40=0$

Lời giải chi tiết

Giả sử $C\left( 0;0;c \right)$ tao sở hữu phương trình mặt mũi bằng phẳng $\left( ABC \right)$ là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{c}=1$

Ta sở hữu $OA,OB,OC$đôi một vuông góc nên ${{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}OA.OB.OC=\frac{1}{6}.3.6.\left| c \right|=12\Leftrightarrow c=\pm 4$.

Chọn D

Lời giải chi tiết

Ta có: $A\left( 1;0;0 \right);B\left( 0;b;0 \right);C\left( 0;0;c \right)$. $\overrightarrow{AB}=\left( -1;b;0 \right);\overrightarrow{AC}=\left( -1;0;c \right)$

Khi đó: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\left| \left( bc;c;b \right) \right|=\frac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}{2}$. Chọn C

Lời giải chi tiết

Gọi $B\left( 0;b;0 \right)$ và $C\left( 0;0;c \right)$(điều khiếu nại $b,c>0$) suy đi ra $\left( P.. \right):\frac{x}{2}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Vì $H\in \left( P.. \right)$ nên $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$

${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( bc \right)}^{2}}+{{\left( 2c \right)}^{2}}+{{\left( 2b \right)}^{2}}}=4\sqrt{6}\Leftrightarrow {{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}=384$

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=b+c \\  {} v=bc \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} v=2u \\  {} {{v}^{2}}+4\left( {{u}^{2}}-2v \right)=384 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} u=8;v=16 \\  {} u=-6;v=-12\left( loai \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} b+c=8 \\  {} bc=16 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow b=c=4$

Vậy phương trình mặt mũi bằng phẳng $\left( P.. \right)$ là $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1$ hoặc $2x+y+z-4=0$. Chọn D

Lời giải chi tiết

Phương trình mặt mũi bằng phẳng $\left( ABC \right)$ là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Vì $M\in \left( ABC \right)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7$

Xem thêm: Tháng 4 cung gì? Khám phá vận mệnh, tính cách, tình duyên và sự nghiệp

Xét mặt mũi cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\frac{72}{7}$ sở hữu tâm $I\left( 1;2;3 \right)$, nửa đường kính $R=\frac{6\sqrt{14}}{7}$

Khoảng cơ hội kể từ $I\xrightarrow{{}}mp\left( ABC \right)$ là $d\left( I;\left( ABC \right) \right)=\frac{\left| \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1 \right|}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}=\frac{6}{\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}}}$

Vì mặt mũi cầu $\left( S \right)$ xúc tiếp với $mp\left( ABC \right)$$mp\left( ABC \right)\Rightarrow d\left( I;\left( ABC \right) \right)=R\Rightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{7}{2}$. Chọn D