Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $AD$, $O$ là trung điểm $CD$, $A?

Cho hình chóp $S.ABCD$ sở hữu lòng $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp đàng tròn xoe 2 lần bán kính $AD$, $O$ là trung điểm $CD$, $A?

Đáp án B

Chọn B

Gọi \(I,\,N\) là trung điểm của \(AD,\,AB\).
Gọi \(H\) là tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác \(ABO\), vì như thế \(\Delta ABI\) đều, nên \(H\in NI\).
Hạ \(HK\bot CD\), Dựng hình bình hành\(AECD\). Gọi \(F\) là phú điểm của \(BO\) và \(AE\)
Ta sở hữu \(AF//CD\), nên \(d\left( SA,\,CD \right)=d\left( CD,\left( SAF \right) \right)=d\left( O,\left( SAF \right) \right)\).
Vì \(ABCD\) là nửa lục giác đều nội tiếp đàng tròn xoe 2 lần bán kính \(AD\), nên \(\Delta BIC\), \(\Delta CID\) là những tam giác đều, bởi đó:
\(AC=\sqrt{{{\left( 4a \right)}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=2a\sqrt{3}\).
\(CO=\dfrac{1}{2}CD=a\).
\(AO=\sqrt{A{{C}^{2}}+C{{O}^{2}}}=\sqrt{12{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{13}\).
\(BO=\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{O}^{2}}-2BC.CO.\cos {{120}^{\circ }}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=a\sqrt{7}\).
\({{S}_{\Delta ABO}}=\dfrac{(2a+4a)a\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}2a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}4a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\).
Suy rời khỏi \(AH=\dfrac{2a.a\sqrt{7}.a\sqrt{13}}{4.\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{273}}{9}\).
\(SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-\dfrac{273{{a}^{2}}}{81}}=\dfrac{a\sqrt{51}}{9}\).
Diện tích \({{S}_{\Delta AFO}}=2{{S}_{\Delta ABO}}=3{{a}^{2}}\sqrt{3}\)
Thể tích khối chóp \(S.AFO\) là \({{V}_{S.AFO}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{AFO}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{153}}{9}\).
Diện tích tam giác \(SAF\):
\(SA=2a\).
\(AF=3a\).
\(S{{B}^{2}}=\dfrac{S{{O}^{2}}+S{{F}^{2}}}{2}-\dfrac{F{{O}^{2}}}{4}\Rightarrow S{{F}^{2}}=\dfrac{F{{O}^{2}}+4S{{B}^{2}}}{2}-S{{O}^{2}}=\dfrac{28{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}{2}-4{{a}^{2}}=\dfrac{36{{a}^{2}}}{2}\)
\(\Rightarrow SF=3a\sqrt{2}\).
Suy rời khỏi \({{S}_{\Delta SAF}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{119}}{4}\)
Vậy \(d\left( SA,\,CD \right)=d\left( CD,\left( SAF \right) \right)=d\left( O,\left( SAF \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{O.SAF}}}{{{S}_{\Delta SAF}}}=\dfrac{3\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{153}}{9}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{119}}{4}}=\dfrac{2a}{\sqrt{7}}\).