Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $AD$, $O$ là trung điểm $CD$, $A?

Cho hình chóp $S.ABCD$ sở hữu lòng $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp đàng tròn xoe 2 lần bán kính $AD$, $O$ là trung điểm $CD$, $A?

Cho hình chóp $S.ABCD$ sở hữu lòng $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp đàng tròn xoe 2 lần bán kính $AD$, $O$ là trung điểm $CD$, $AD=4a$, $SA=SB=SO=2a$. Tính khoảng cách thân thiện $SA$ và $CD$.

Bạn đang xem: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $AD$, $O$ là trung điểm $CD$, $A?

A. $\dfrac{a}{\sqrt{7}}$.

B. $\dfrac{2a}{\sqrt{7}}$.

Xem thêm: Phong Cách Gothic Là Gì? Những Bí Mật Về Bộ Trang Phục Gothic

C. $\dfrac{4a}{\sqrt{7}}$.

Xem thêm: Ý nghĩa hoa cúc họa mi - Loài hoa mảnh khảnh, đáng yêu - Shop Hoa Vũng Tàu

D. $\dfrac{a\sqrt{14}}{4}$.

Đáp án B

Chọn B

Gọi $I,\,N$ là trung điểm của $AD,\,AB$.
Gọi $H$ là tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác $ABO$, vì như thế $\Delta ABI$ đều, nên $H\in NI$.
Hạ $HK\bot CD$, Dựng hình bình hành$AECD$. Gọi $F$ là phú điểm của $BO$ và $AE$
Ta sở hữu $AF//CD$, nên $d\left( SA,\,CD \right)=d\left( CD,\left( SAF \right) \right)=d\left( O,\left( SAF \right) \right)$.
Vì $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp đàng tròn xoe 2 lần bán kính $AD$, nên $\Delta BIC$, $\Delta CID$ là những tam giác đều, bởi đó:
$AC=\sqrt{{{\left( 4a \right)}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=2a\sqrt{3}$.
$CO=\dfrac{1}{2}CD=a$.
$AO=\sqrt{A{{C}^{2}}+C{{O}^{2}}}=\sqrt{12{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{13}$.
$BO=\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{O}^{2}}-2BC.CO.\cos {{120}^{\circ }}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=a\sqrt{7}$.
${{S}_{\Delta ABO}}=\dfrac{(2a+4a)a\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}2a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}4a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Suy rời khỏi $AH=\dfrac{2a.a\sqrt{7}.a\sqrt{13}}{4.\dfrac{3a\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{273}}{9}$.
$SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-\dfrac{273{{a}^{2}}}{81}}=\dfrac{a\sqrt{51}}{9}$.
Diện tích ${{S}_{\Delta AFO}}=2{{S}_{\Delta ABO}}=3{{a}^{2}}\sqrt{3}$
Thể tích khối chóp $S.AFO$ là ${{V}_{S.AFO}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{AFO}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{153}}{9}$.
Diện tích tam giác $SAF$:
$SA=2a$.
$AF=3a$.
$S{{B}^{2}}=\dfrac{S{{O}^{2}}+S{{F}^{2}}}{2}-\dfrac{F{{O}^{2}}}{4}\Rightarrow S{{F}^{2}}=\dfrac{F{{O}^{2}}+4S{{B}^{2}}}{2}-S{{O}^{2}}=\dfrac{28{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}{2}-4{{a}^{2}}=\dfrac{36{{a}^{2}}}{2}$
$\Rightarrow SF=3a\sqrt{2}$.
Suy rời khỏi ${{S}_{\Delta SAF}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{119}}{4}$
Vậy $d\left( SA,\,CD \right)=d\left( CD,\left( SAF \right) \right)=d\left( O,\left( SAF \right) \right)=\dfrac{3{{V}_{O.SAF}}}{{{S}_{\Delta SAF}}}=\dfrac{3\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{153}}{9}}{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{119}}{4}}=\dfrac{2a}{\sqrt{7}}$.