Nguyên hàm là 1 trong mỗi mục chính cần thiết của Giải tích Toán 12 và thông thường xuất hiện nay nhiều trong số kì ganh đua ĐH. Vậy sở hữu những công thức vẹn toàn hàm cần thiết này cần thiết nhớ? Team Marathon Education sẽ hỗ trợ những em trả lời và mò mẫm làm rõ rộng lớn về bảng công thức vẹn toàn hàm kể từ cơ bạn dạng cho tới nâng lên và cách thức giải bài xích tập luyện vẹn toàn hàm phổ cập qua chuyện nội dung bài viết sau đây.
>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Hướng Dẫn Giải Bài Tập
Bạn đang xem: Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết
Nguyên hàm là gì?
Trước Lúc, cút sâu sắc vô mò mẫm hiểu công thức về vẹn toàn hàm, những em cần thiết nắm rõ định nghĩa vẹn toàn hàm cũng giống như các đặc thù và toan lý tương quan.
Định nghĩa vẹn toàn hàm
Cho hàm số f(x) xác lập bên trên K, thời điểm này hàm số F(x) được gọi là vẹn toàn hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu như F’(x) = f(x) (với từng x ∊ K, K rất có thể là khoảng tầm, đoạn hoặc nửa đoạn bên trên ℝ).
Kí hiệu vẹn toàn hàm của hàm số f(x) là:
\int f(x)dx=F(x)+C \ \ \ (\forall \ C\in\R)
Định lý vẹn toàn hàm
3 toan lý của vẹn toàn hàm là:
- Định lý 1: Giả sử F(x) là 1 vẹn toàn hàm của f(x) bên trên K. Khi ê, với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 vẹn toàn hàm của f(x).
- Định lý 2: Trên K, nếu như F(x) là 1 vẹn toàn hàm của hàm số f(x) thì từng vẹn toàn hàm của f(x) bên trên K đều phải có dạng F(x) + C, với C là 1 hằng số tùy ý.
- Định lý 3: Trên K, toàn bộ hàm số f(x) liên tiếp đều phải có vẹn toàn hàm.
Tính hóa học vẹn toàn hàm
3 đặc thù cơ bạn dạng của vẹn toàn hàm được thể hiện nay như sau:
\begin{aligned}
&\footnotesize\bull\text{Nếu f(x) là hàm số sở hữu vẹn toàn hàm thi: }(\smallint f(x)dx)'=f(x)\ \text{và }\\
&\footnotesize\smallint f'(x)dx=f(x) +C.\\
&\footnotesize\bull\text{Nếu F(x) sở hữu đạo hàm thì }\smallint d(F(x))=F(x)+C.\\
&\footnotesize\bull\text{Tích của vẹn toàn hàm với k là hằng số không giống 0: }\smallint kf(x)dx=k\smallint f(x)dx.\\
&\footnotesize\bull\text{Tổng, hiệu của vẹn toàn hàm: }\smallint [f(x)\pm g(x)]=\smallint f(x)dx\pm \smallint g(x)dx
\end{aligned}
Bảng công thức vẹn toàn hàm cơ bạn dạng, không ngừng mở rộng và nâng cao
Mỗi dạng vẹn toàn hàm đều phải có những công thức riêng biệt. Những công thức này đã và đang được tổ hợp trở nên những bảng sau đây nhằm những em dễ dàng và đơn giản phân loại, ghi ghi nhớ và vận dụng đúng mực.
Bảng công thức vẹn toàn hàm cơ bản
Bảng công thức vẹn toàn hàm ngỏ rộng
Bảng công thức vẹn toàn hàm nâng cao
Bảng vẹn toàn hàm hàm con số giác
2 cách thức giải bài xích tập luyện vẹn toàn hàm phổ biến
Phương pháp thay đổi phát triển thành số
Đây là cách thức được dùng thật nhiều Lúc hương nguyên hàm. Vì vậy, những em rất cần được nắm rõ cách thức này nhằm giải những vấn đề vẹn toàn hàm thời gian nhanh và đúng mực rộng lớn.
Phương pháp thay đổi phát triển thành loại 1:
Cho hàm số u = u(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên K, hắn = f(u) liên tiếp nhằm f[u(x)] xác lập bên trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:
∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C
Cách giải:
Đầu tiên, lựa chọn t = φ(x) và tính vi phân nhị vế: dt = φ'(t)dt.
Sau ê, đổi khác biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp thay đổi phát triển thành loại 2: Khi đề bài xích mang lại hàm số f(x) liên tiếp bên trên K và x = φ(t) là 1 hàm số xác lập, liên tiếp bên trên K và sở hữu đạo hàm là φ'(t). Lúc này:
∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt
Cách giải:
Đầu tiên, lựa chọn x = φ(t) và lấy vi phân nhị vế: dx = φ'(t)dt.
Thực hiện nay phát triển thành đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp vẹn toàn hàm từng phần
Phương pháp chung
Định lý: Nếu nhị hàm số u(x) và v(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên K thì:
\small \smallint u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\smallint v(x)u'(x)dx\ \text{hay} \ \smallint udv=uv-\smallint vdu\\ (\text{với }du=u'(x)dx, \ dv=v'(x)dx)
Cách giải:
Trước không còn, những em cần thiết đổi khác tích phân trước tiên về dạng:
I=\int f(x)dx=\int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp theo đòi, đặt:
\begin{cases}u=f_1(x)\\dv=f_2(x)\end{cases}
\implies \begin{cases}du=f'_1(x)dx\\v=\int f_2(x)dx\end{cases}
Lúc này thì những em tiếp tục có:
\smallint udv=uv-\smallint vdu
Tùy nằm trong vào cụ thể từng dạng toán rõ ràng nhưng mà những em vận dụng cách thức sao mang lại tương thích.
Các dạng vẹn toàn hàm từng phần thông thường gặp
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
>>> Xem thêm: Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần Và Công Thức Tính Chi Tiết Nhất
Bài tập luyện về công thức vẹn toàn hàm
Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Hãy nêu khái niệm vẹn toàn hàm của hàm số mang lại trước f(x) bên trên một khoảng tầm.
b. Phương pháp tính vẹn toàn hàm từng phần là gì? Đưa đi ra ví dụ minh họa mang lại phương pháp tính tiếp tục nêu.
Hướng dẫn giải bài xích tập:
a. Xét hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên tập luyện xác lập D.
Hàm số Y = F(x) được gọi là vẹn toàn hàm của hàm số hắn = f(x) bên trên D Lúc Y = F(x) vừa lòng ĐK F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.
Xem thêm: Sao Vân Hớn tốt hay xấu? Chiếu mệnh tuổi nào?
b.
Phương pháp tính vẹn toàn hàm từng phần được khái niệm như sau:
Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên D, Lúc ê tao sở hữu công thức:
∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx hoặc ∫udv = uv – ∫vdv
Ví dụ minh họa: Tính vẹn toàn hàm của hàm số A = ∫xexdx
Lời giải:
\begin{aligned}
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u=x
\\
dv=e^xdx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=dx
\\
v=e^x
\end{cases}
\\
& \small \text{Khi ê, } A = \smallint xe^xdx = xe^x - \smallint e^xdx = xe^x - e^x + C
\end{aligned}
Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Nêu khái niệm tích phân hàm số f(x) bên trên đoạn [a;b]
b. Tính hóa học của tích phân là gì? Nêu ví dụ rõ ràng.
Hướng dẫn giải bài xích tập:
a. Xét hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên [a; b], gọi F(x) là vẹn toàn hàm của f(x) bên trên [a;b]
Khi ê, tích phân cần thiết mò mẫm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:
I = \intop_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
b. Tính hóa học của tích phân:
\begin{aligned}
&\intop^a_bf(x)dx=0\\
&\intop^b_af(x)dx=-\intop^a_bf(x)dx\\
&\intop^b_akf(x)dx=k\intop^b_af(x)dx\\
&\intop^b_a{[f(x)\pm g(x)]}dx = \intop^b_a{f(x)dx}\pm \intop^b_a{g(x)dx}\\
&\intop^b_af(x)dx=\intop^c_af(x)dx+\intop^b_cf(x)dx
\end{aligned}
Bài 3 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tìm vẹn toàn hàm của những hàm số tiếp tục mang lại bên dưới đây:
\begin{aligned}
&a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\\
&b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\\
&c. f(x)=\frac{1}{1-x^2}\\
&d. f(x)=(e^x-1)^3
\end{aligned}
Hướng dẫn giải bài xích tập:
a. Ta có:
(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1
Suy ra
\begin{aligned}
\small\int(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&\small=\int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\\
&\small =\frac{3}{2}x^4-\frac{11}{3}x^3+3x^2-x+C
\end{aligned}
b. Ta có:
\begin{aligned}
\small sin(4x).cos^2(2x)&=\frac{1}{2}sin4x.cos4x+\frac{1}{2}sin4x\\&=\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x
\end{aligned}
Suy ra:
\small \int(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x)dx=-\frac{cos8x}{32}-\frac{cos4x}{8}+C
c. Ta có:
\begin{aligned}
\small f(x)&=\small \frac{1}{1-x^2}\\
&=\small \frac{1}{(1-x)(1+x)}\\
&=\small \frac{1}{2}.\frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}\\
&=\small \frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x}
\end{aligned}
Suy ra:
\begin{aligned}
\int f(x)dx&=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \\
&=\frac{1}{2}(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\\
&=\frac{1}{2}ln\big|(1+x)(1-x)\big|+C\
\end{aligned}
d. Với bài xích tập luyện này, những em rất có thể tuân theo cơ hội giải thường thì là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi vận dụng tính vẹn toàn hàm mang lại từng hàm nhỏ. Hoặc những em còn rất có thể dùng cơ hội bịa ẩn phụ nhằm giải mò mẫm vẹn toàn hàm như sau:
Đặt\ t=e^x \implies dt=e^x.dx=t.dx \implies \frac{dt}{t}=dx
Ta có:
\begin{aligned}
\int f(x)dx&=\int(e^x-1)^3dx\\
&=\int \frac{(t-1)^3}{t}dt\\
&=\int \left(t^2-3t+3-\frac{1}{t}\right)dt\\
&=\frac{1}{3}t^3-\frac{3}{2}t^2+3t-ln|t|+C\\
&=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-ln|e^x|+C\\
&=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C'\\
&(Với\ C' = C-1)
\end{aligned}
Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tính một số trong những vẹn toàn hàm sau:
\begin{aligned}
&a)\int(2-x).sinxdx\\
&b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\
&c) \int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&e)\int\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\
&f)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)dx}
\end{aligned}
Hướng dẫn giải bài xích tập:
\begin{aligned}
&\text{a) Đặt} \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=-dx\\v=-cosx\end{cases}\\
&\text{Theo công thức tính tích phân từng phần:}\\
&\int(2-x)sinxdx\\
&=(2-x)(-cosx)-\int cosxdx\\
&=(x-2)cosx-sinx +C\\
&b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(x^2+2x+1}{\sqrt{x}}dx\\
&=\int (x^\frac{3}{2}+2x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2})dx\\
&=\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+2.\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+2.x^\frac{1}{2}+C\\
&=\sqrt{x}(\frac{2}{5}x^2+\frac{4}{3}x+2)+C\\
&c)\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&=\int\frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}\\
&=\int (e^{2x}-e^x+1)dx\\
&=\frac{1}{2}e^{2x}-e^x+x +C\\
&d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&=\int\frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\
&=\int\frac{1}{2.cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\
&=\frac{1}{2}.tan(x-\frac{\pi}{4})+C\\
&e) \int\frac{1}{\sqrt{1+x} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int\frac{(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})(\sqrt{x+1} +\sqrt{x})}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\
&=\int(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})dx\\
&=\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} +C\\
&=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\
&g)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\frac{1}{3}\int\frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\
&=-\frac{1}{3}ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\
&=\frac{1}{3}ln\big |\frac{1+x}{2-x}\big|+C
\end{aligned}
Đề trung học phổ thông Chuyên KHTN Lần 4
Đề bài:
Cho những số vẹn toàn a và b thỏa mãn
\begin{aligned}
& \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx = a +\frac32 + lnb
\end{aligned}
Hãy tính tổng P.. = a + b
Hướng dẫn giải bài xích tập:
\begin{aligned}
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u=lnx
\\
dv=(2x+1)dx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=\frac1xdx
\\
v=x^2 +x
\end{cases}
\\
& \small \text{Khi ê, }
\\
& \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx
\\
& \small = (x^2 + x)lnx \left. \right|^2_1 - \intop_2^1 (x^2 + x).\frac1xdx
\\
& \small = 6ln2 - \intop_2^1 (x + 1)dx
\\
& \small = 6ln2 - \left.\left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right|^2_1
\\
& \small = 6ln2 - (4 - \frac32)
\\
& \small = -4 + \frac32 + ln64
\\
& \small \text{Vậy a = -4 và b = 64. Lúc ê. P.. = a + b = 60.}
\end{aligned}
Đề ganh đua test Sở Giáo Dục Bình Thuận
Đề bài:
Cho hàm số F(x) là vẹn toàn hàm của hàm số f(x). Khi biết F(3) = 3, hãy tính tích phân:
Hướng dẫn giải bài xích tập:
Đối với dạng bài xích nâng lên này, những em tiếp tục phối hợp 2 cách thức là tích phân hàm ẩn (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.
Xem thêm: Ý nghĩa hình ảnh lá cờ nước Úc
\begin{aligned}
& \small \text{Đặt n = x + 1, Lúc đó: }
\\
& \small K = \intop_0^3 xf(x)dx
\\
& \small = \intop_{-1}^2 F(x+1)d(x+1)
\\
& \small = \intop_3^0 F(n)dn
\\
& \small =1
\\
& \small \text{Kế tiếp, tao bịa }
\begin{cases}
u=x
\\
dv=f(x)dx
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
du=dx
\\
v=F(x)
\end{cases}
\\
& \small \text{Lúc đó: }
\\
& \small K = \intop_0^1xf(x)dx = \left.xF(x)\right|_0^3 - \intop_0^3F(x)dx = 3F(3) - 1 = 8
\end{aligned}
Tham khảo tức thì những khoá học tập online của Marathon Education
Qua nội dung bài viết bên trên, Team Marathon Education tiếp tục share cho tới những em lý thuyết cơ bạn dạng về vẹn toàn hàm, bàng vẹn toàn hàm cơ bạn dạng và không ngừng mở rộng và những công thức vẹn toàn hàm cần thiết nắm rõ. Hy vọng nội dung bài viết sẽ hỗ trợ những em ghi nhỡ những công thức vẹn toàn hàm này một cơ hội hiệu suất cao và hùn áp dụng bọn chúng nhằm giải bài xích tập luyện một cơ hội nhanh gọn.
Hãy contact tức thì với Marathon sẽ được tư vấn nếu như những em mong muốn học online nâng lên kỹ năng nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong số bài xích đánh giá và kỳ ganh đua chuẩn bị tới!
Bình luận