Các dạng toán rút gọn lớp 9 có đáp án

1. Cách rút gọn gàng biểu thức và một số trong những dạng toán liên quan

Dạng 1: Rút gọn gàng biểu thức đem chứa chấp căn

Phương pháp rút gọn gàng biểu thức

Bước 1: Tìm ĐK xác lập.

Bạn đang xem: Các dạng toán rút gọn lớp 9 có đáp án

Bước 2: Tìm khuôn mẫu thức cộng đồng, quy đồng khuôn mẫu thức, rút gọn gàng tử thức, phân tách tử thức trở thành nhân tử.

Bước 3: Chia cả tử và khuôn mẫu mang lại nhân tử cộng đồng của tử và khuôn mẫu.

Bước 4: Khi này phân thức được tối giản thì tao triển khai xong việc rút gọn gàng.

Dạng 2: Tính độ quý hiếm của biểu thức bên trên x = x0

Phương pháp:

Bước 1: Rút gọn gàng biểu thức A..

Bước 2: Thay độ quý hiếm x = x0 vào biểu thức vẫn rút gọn gàng rồi tính thành phẩm.

Dạng 3: Tính độ quý hiếm của trở nên x nhằm biểu thức A = k (hằng số)

Phương pháp:

Bước 1: Rút gọn gàng biểu thức A.

Bước 2: Giải phương trình A – k = 0.

Bước 3: Kiểm tra nghiệm với ĐK và tóm lại.

2. Bài tập dượt rút gọn gàng biểu thức chứa chấp căn thức

Ví dụ 1: Rút gọn gàng biểu thức:

a) \sqrt {14 + 6\sqrt 5 }  - \sqrt {14 - 6\sqrt 5 }

b) \sqrt {\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }

c) \frac{{15}}{{\sqrt 6  - 1}} + \frac{8}{{\sqrt 6  + 2}} + \frac{6}{{3 - \sqrt 6 }} - 9\sqrt 6

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\begin{matrix}
  \sqrt {14 + 6\sqrt 5 }  - \sqrt {14 - 6\sqrt 5 }  \hfill \\
   = \sqrt {9 + 2.3\sqrt 5  + 5}  - \sqrt {9 - 2.3\sqrt 5  + 5}  \hfill \\
   = \sqrt {{3^2} + 2.3\sqrt 5  + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {{3^2} - 2.3\sqrt 5  + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}  \hfill \\
   = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  \hfill \\
   = \left| {3 + \sqrt 5 } \right| - \left| {3 - \sqrt 5 } \right| \hfill \\
   = 3 + \sqrt 5  - \left( {3 - \sqrt 5 } \right) \hfill \\
   = 3 + \sqrt 5  - 3 + \sqrt 5  = 2\sqrt 5  \hfill \\ 
\end{matrix}

b) Ta có:

\begin{matrix}
  \sqrt {\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }  = \sqrt {\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2\sqrt 5  + {1^2}} }  \hfill \\
   = \sqrt {\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}} }  \hfill \\
   = \sqrt {\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\left| {\sqrt 5  - 1} \right|}  \hfill \\
   = \sqrt {\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}  = \sqrt {5 - 1}  = \sqrt 4  = 2 \hfill \\ 
\end{matrix}

c) Ta có: \dfrac{{15}}{{\sqrt 6  - 1}} + \dfrac{8}{{\sqrt 6  + 2}} + \dfrac{6}{{3 - \sqrt 6 }} - 9\sqrt 6

= \dfrac{{15\left( {\sqrt 6  + 1} \right)}}{{6 - 1}} + \dfrac{{8\left( {\sqrt 6  - 2} \right)}}{{6 - 4}} + \dfrac{{6\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{{9 - 6}} - 9\sqrt 6

= \dfrac{{15\left( {\sqrt 6  + 1} \right)}}{5} + \dfrac{{8\left( {\sqrt 6  - 2} \right)}}{2} + \dfrac{{6\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}}{3} - 9\sqrt 6

=3\left(\sqrt{6}+1\right)+4\left(\sqrt{6}-2\right)+2\left(3+\sqrt{6}\right)-9\sqrt{6}

=3\sqrt{6}+3+4\sqrt{6}-8+6+2\sqrt{6}-9\sqrt{6}

=(3\sqrt{6}+4\sqrt{6}+2\sqrt{6}-9\sqrt{6})+(3+6-8)

= 0 + 1 = 1

Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \frac{{10\sqrt x }}{{x - 25}} - \frac{5}{{\sqrt x  + 5}} với x \geqslant 0;x \ne 25

a) Rút gọn gàng biểu thức A.

b) Tính độ quý hiếm của A khi x = 9.

c) Tính độ quý hiếm của x nhằm biểu thức A = 0,5.

Hướng dẫn giải

a. A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \frac{{10\sqrt x }}{{x - 25}} - \frac{5}{{\sqrt x  + 5}}

\begin{matrix}
  A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 5}} - \dfrac{{10\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} - \dfrac{5}{{\sqrt x  + 5}} \hfill \\
  A = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} - \dfrac{{10\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} - \dfrac{{5\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} \hfill \\ 
\end{matrix}

\begin{matrix}
  A = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 5} \right) - 10\sqrt x  - 5\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} \hfill \\
  A = \dfrac{{x + 5\sqrt x  - 10\sqrt x  - 5\sqrt x  + 25}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} \hfill \\
  A = \dfrac{{x - 10\sqrt x  + 25}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 5} \right)\left( {\sqrt x  + 5} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x  - 5}}{{\sqrt x  + 5}} \hfill \\ 
\end{matrix}

b. Thay x = 9 nhập biểu thức tao có: A = \frac{{\sqrt 9  - 5}}{{\sqrt 9  + 5}} = \frac{{3 - 5}}{{3 + 5}} = \frac{{ - 2}}{8} =  - \frac{1}{4}

Kết luận khi x = 9 thì A =  - \frac{1}{4}

c. Để A = 0,5

\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+5}=\frac{1}{2}

\Leftrightarrow 2(\sqrt{x}-5)=\sqrt{x}+5

\Leftrightarrow 2\sqrt{x}-10=\sqrt{x}+5

\Leftrightarrow \sqrt{x}=15

\Leftrightarrow x=225 (tmđk)

Vậy x = 225 thì A = 0,5

Ví dụ 3: Cho những biểu thức H = \frac{{x - \sqrt[3]{x}}}{{x - 1}} và K = \frac{1}{{\sqrt[3]{x} - 1}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}} với x \ne 1

a) Tính độ quý hiếm của biểu thức H khi x = 8.

b) Rút gọn gàng biểu thức P.. = H + K.

c) Tìm độ quý hiếm của x nhằm P.. = 1,5.

Hướng dẫn giải

a. Thay x = 8 nhập biểu thức H, tao có:

H = \frac{{8 - \sqrt[3]{8}}}{{8 - 1}} = \frac{{8 - 2}}{7} = \frac{6}{7}

Vậy H=\frac{6}{7} khi x = 8

b. Ta có: P.. = H + K

\Rightarrow P.. = \dfrac{{x - \sqrt[3]{x}}}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt[3]{x} - 1}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}}

P = \dfrac{{x - \sqrt[3]{x}}}{{\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt[3]{x} - 1}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}}

\begin{matrix}  P.. = \dfrac{{x - \sqrt[3]{x}}}{{\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1}}{{\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt[3]{x} - 1}}{{\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} \hfill \\  P.. = \dfrac{{x - \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1 + \sqrt[3]{x} - 1}}{{\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} = \dfrac{{x + \sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x}}}{{\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} \hfill \\ \end{matrix}

P = \frac{{\sqrt[3]{x}\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt[3]{x} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{x} + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt[3]{x}}}{{\sqrt[3]{x} - 1}}

c) Để P.. = 1,5

\Leftrightarrow \frac{{\sqrt[3]{x}}}{{\sqrt[3]{x} - 1}} =\frac{3}{2}

\Leftrightarrow \ 3\left(\sqrt[3]{x}-1\right)=2\sqrt[3]{x}

\Leftrightarrow \ 3\sqrt[3]{x}-3=2\sqrt[3]{x}

\Leftrightarrow \ \sqrt[3]{x}=3

\Leftrightarrow x=27 (tmđk)

Vậy x = 27 thì P.. = 1,5

Xem thêm: Phong Cách Gothic Là Gì? Những Bí Mật Về Bộ Trang Phục Gothic

Ví dụ 4: Cho biểu thức: A = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{x\sqrt x  + x + \sqrt x }} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{{x^2} - \sqrt x }}

a) Rút gọn gàng biểu thức A.

b) Tìm x nhằm biểu thức A nhận độ quý hiếm là số vẹn toàn.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: A = \dfrac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x  - 1}} + \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x\sqrt x  + x + \sqrt x }} + \dfrac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{{x^2} - \sqrt x }}

=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(x\sqrt{x}-1)}

=\frac{x-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}

\frac{\sqrt{x}(x-2\sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}

= \frac{{\sqrt x (x - 2\sqrt x ) + (\sqrt x + 1)(\sqrt x - 1) + 1 + 2x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)(x + \sqrt x + 1)}}

=\frac{x\sqrt{x}-2x+x-1+1+2x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}

= \frac{{x\sqrt x + x - 2\sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)(x + \sqrt x + 1)}}

= \frac{{\sqrt x (x + \sqrt x - 2)}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)(x + \sqrt x + 1)}} = \frac{{\sqrt x (\sqrt x - 1)(\sqrt x + 2)}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)(x + \sqrt x + 1)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}

b)  Với x > 0, x ≠ 1\Rightarrow x + \sqrt x  + 1 > \sqrt x  + 1 > 1

0 < \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + \sqrt x  + 1}} < \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x  + 1}} < 2

Vì A vẹn toàn nên A = 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + \sqrt x  + 1}} = 1 \Leftrightarrow x = 1\left( {ktm} \right)

Vậy không tồn tại độ quý hiếm vẹn toàn này của x nhằm độ quý hiếm A là một số trong những vẹn toàn.

3. Bài tập dượt tự động tập luyện Rút gọn gàng biểu thức

Bài 1:

a) \left( {1 - \frac{{\sqrt 5  + 5}}{{1 + \sqrt 5 }}} \right)\left( {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 5 }} - 1} \right)

b) \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} + \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)

c) \sqrt {5 - 2\sqrt 6 }  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 5\sqrt 3 } \right)}^2}}

d) \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }

e) \sqrt {\sqrt {15}  - 6\sqrt 6 }  + \sqrt {33 - 12\sqrt 6 }

f) \frac{{\sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2  - \sqrt 3 }} - \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 2  + \sqrt 3  - \sqrt 5 }}

Bài 2: Rút gọn gàng những biểu thức sau:

a) M = {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right)^2}\left( {\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}} \right) với x > 0;x \ne 1

b) N = \left( {\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} + 4\sqrt x } \right):\frac{{2x\sqrt x }}{{x - 1}} với x \geqslant 0;x \ne 9

c) P = \frac{{x + y}}{{\sqrt x  + \sqrt nó }}:\left( {\frac{{x + y}}{{x - y}} - \frac{y}{{y - \sqrt {xy} }} + \frac{x}{{\sqrt {xy}  + x}}} \right) - \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt x  - \sqrt nó } \right)}^2}} }}{2} với y > x > 0

Bài 3: Cho biểu thức: B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}}} \right)

a) Tìm ĐK của x nhằm biểu thức B đem nghĩa.

b) Tính độ quý hiếm của biểu thức B biết x = 9 - 4\sqrt 5

c) Tìm độ quý hiếm của x nhằm B dương.

Bài 4: Cho biểu thức: C = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{5\sqrt x  - 4}}{{2\sqrt x  - x}}} \right):\left( {\frac{{2 + \sqrt x }}{{\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}} \right)

a) Tìm ĐK của x nhằm biểu thức C đem nghĩa.

b) Rút gọn gàng biểu thức C.

c) Tính độ quý hiếm của biểu thức C biết x = \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}

Bài 5: Cho biểu thức: D = \frac{3}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{6\sqrt x  - 4}}{{x - 1}}

a) Tìm ĐK xác lập của D.

b) Rút gọn gàng biểu thức D.

c) Tính độ quý hiếm của x nhằm biểu thức D 0,5.

Bài 6: Cho biểu thức: E = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{{3x - 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} - 1} \right)

a) Tìm ĐK xác lập của E.

b) Rút gọn gàng biểu thức E.

c) Tính độ quý hiếm của x nhằm biểu thức E -0,5.

Bài 7: Cho biểu thức: F = \left( {\frac{{x - 7\sqrt x  + 12}}{{x - 4\sqrt x  + 3}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right).\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}với x \geqslant 0;x \ne 9

a) Rút gọn gàng biểu thức F.

b) Tìm độ quý hiếm của x nhằm F > 0,75.

c) Tìm x nhằm P.. = 2.

Bài 8: Chứng minh rằng \sqrt {2 - \sqrt 3 }  + \sqrt {2 + \sqrt 3 }  = \sqrt 6

Bài 9: Cho biểu thức: A = \frac{{{x^2} - \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt x  - 1}}

a) Rút gọn gàng biểu thức A.

b) Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của A.

c) Tìm x nhằm biểu thức B = \frac{{2\sqrt x }}{A} nhận độ quý hiếm là số vẹn toàn.

Bài 10: Cho biểu thức: A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}};B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x  + 1}}

a) Rút gọn gàng biểu thức B.

b) Tính độ quý hiếm của A khi x = 5 + 2\sqrt 6

c) Với x \in \mathbb{N},x \ne 1. Tìm độ quý hiếm lớn số 1 và độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức P.. = A.B.

Bài 11: Cho biểu thức P=\left(\frac{x}{x\sqrt{x}-4\sqrt{x}}-\frac{6}{3\sqrt{x}-6}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right):\left(\sqrt{x}-2+\frac{10-x}{\sqrt{x}+2}\right)

(với x>0,\ x\ne4)

a) Rút gọn gàng biểu thức P

b) Tim những độ quý hiếm vẹn toàn của x nhằm biểu thức Q=\left(-\sqrt{x}-1\right).P đạt độ quý hiếm vẹn toàn.

Bài 12: Cho biểu thức A=\left(\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right):\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x-1}

Xem thêm: Mercury (element)

a) Rút gọn gàng biểu thức A.

b) Tìm x nhằm |A| > 0

c) Tìm những độ quý hiếm vẹn toàn của x nhằm A có mức giá trị nguyên