Xác định cấp số và các yếu tố của cấp số - TOANMATH.com

Bài viết lách chỉ dẫn cách thức giải việc xác lập cung cấp số và những nhân tố của cung cấp số, hùn học viên học tập chất lượng tốt công tác Đại số và Giải tích 11 chương 3: Dãy số, cung cấp số nằm trong và cung cấp số nhân (CSC và CSN).

I. PHƯƠNG PHÁP
+ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là 1 cung cấp số nằm trong $ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} = d$ không tùy theo $n$ và $d$ là công sai.
+ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là 1 cung cấp số nhân $ \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q$ không tùy theo $n$ và $q$ là công bội.
+ Ba số $a$, $b$, $c$ theo dõi trật tự bại liệt lập trở nên cung cấp số nằm trong $ \Leftrightarrow a + c = 2b.$
+ Ba số $a$, $b$, $c$ theo dõi trật tự bại liệt lập trở nên cung cấp số nhân $ \Leftrightarrow ac = {b^2}.$
+ Để xác lập một cung cấp số nằm trong, tớ cần thiết xác lập số hạng đầu và công sai. Do bại liệt, tớ thông thường biểu Speeker thiết của việc qua chuyện ${u_1}$ và $d.$
+ Để xác lập một cung cấp số nhân, tớ cần thiết xác lập số hạng đầu và công bội. Do bại liệt, tớ thông thường biểu Speeker thiết của việc qua chuyện ${u_1}$ và $q.$

Bạn đang xem: Xác định cấp số và các yếu tố của cấp số - TOANMATH.com

II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tìm tứ số hạng liên tục của một cung cấp số nằm trong biết tổng của bọn chúng vì chưng $20$ và tổng những bình phương của bọn chúng vì chưng $120.$

Lời giải:
Giả sử tứ số hạng này đó là $a – 3x$; $a – x$; $a + x$; $a + 3x$ với công sai là $d = 2x.$
Khi bại liệt, tớ có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{(a – 3x) + (a – x) + (a + x) + (a + 3x) = 20}\\
{{{(a – 3x)}^2} + {{(a – x)}^2} + {{(a + x)}^2} + {{(a + 3x)}^2} = 120}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{4a = 20}\\
{4{a^2} + 20{x^2} = 120}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 5}\\
{x = \pm 1}
\end{array}} \right..$
Vậy tứ số cần thiết mò mẫm là $2$; $4$; $6$; $8.$
Chú ý:
+ Cách gọi những số hạng của cung cấp số nằm trong như bên trên đỡ đần ta xử lý việc gọn gàng rộng lớn.
+ Nếu số hạng cung cấp số nằm trong là lẻ thì gọi công sai $d = x$, là chẵn thì gọi công sai $d = 2x$ rồi viết lách những số hạng cung cấp số bên dưới dạng đối xứng.
+ Nếu cung cấp số nằm trong $\left( {{a_n}} \right)$ thỏa mãn: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n} = p}\\
{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 = {s^2}}
\end{array}} \right.$ thì:
${a_1} = \frac{1}{n}\left[ {p – \frac{{n(n – 1)}}{2}d} \right]$ và $d = \pm \sqrt {\frac{{12\left( {n{s^2} – {p^2}} \right)}}{{{n^2}\left( {{n^2} – 1} \right)}}} .$

Ví dụ 2. Cho CSC $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_2} – {u_3} + {u_5} = 10}\\
{{u_4} + {u_6} = 26}
\end{array}} \right..$
1. Xác quyết định công sai và công thức tổng quát tháo của cung cấp số.
2. Tính $S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + \ldots + {u_{2011}}.$

Lời giải:
Gọi $d$ là công sai của cung cấp số nằm trong, tớ có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {{u_1} + d} \right) – \left( {{u_1} + 2d} \right) + \left( {{u_1} + 4d} \right) = 10}\\
{\left( {{u_1} + 3d} \right) + \left( {{u_1} + 5d} \right) = 26}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + 3d = 10}\\
{{u_1} + 4d = 13}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1}\\
{d = 3}
\end{array}} \right..$
1. Ta sở hữu công sai $d = 3$ và số hạng tổng quát: ${u_n} = {u_1} + (n – 1)d = 3n – 2.$
2. Ta sở hữu những số hạng ${u_1}$, ${u_4}$, ${u_7}$, …, ${u_{2011}}$ lập trở nên một cung cấp số nằm trong bao gồm $670$ số hạng với công sai $d’ = 3d$ nên tớ có: $S = \frac{{670}}{2}\left( {2{u_1} + 669d’} \right)$ $ = 673015.$

Ví dụ 3. Cho cung cấp số nằm trong $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_5} + 3{u_3} – {u_2} = – 21}\\
{3{u_7} – 2{u_4} = – 34}
\end{array}} \right..$
1. Tính số hạng loại $100$ của cung cấp số.
2. Tính tổng $15$ số hạng đầu của cung cấp số.
3. Tính $S = {u_4} + {u_5} + \ldots + {u_{30}}.$

Lời giải:
Từ fake thiết việc, tớ có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + 4d + 3\left( {{u_1} + 2d} \right) – \left( {{u_1} + d} \right) = – 21}\\
{3\left( {{u_1} + 6d} \right) – 2\left( {{u_1} + 3d} \right) = – 34}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + 3d = – 7}\\
{{u_1} + 12d = – 34}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 2}\\
{d = – 3}
\end{array}} \right..$
1. Số hạng loại $100$ của cung cấp số: ${u_{100}} = {u_1} + 99d = – 295.$
2. Tổng của $15$ số hạng đầu: ${S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left[ {2{u_1} + 14d} \right] = – 285.$
3. Ta có: $S = {u_4} + {u_5} + \ldots + {u_{30}}$ $ = \frac{{27}}{2}\left[ {2{u_4} + 26d} \right]$ $ = 27\left( {{u_1} + 16d} \right) = – 1242.$
Chú ý: Ta rất có thể tính $S$ Theo phong cách sau:
$S = {S_{30}} – {S_3}$ $ = 15\left( {2{u_1} + 29d} \right) – \frac{3}{2}\left( {2{u_1} + 2d} \right)$ $ = – 1242.$

Ví dụ 4. Cho cung cấp số nằm trong $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_2} – {u_3} + {u_5} = 10}\\
{{u_4} + {u_6} = 26}
\end{array}} \right..$
1. Xác quyết định cung cấp số nằm trong.
2. Tính tổng $S = {u_5} + {u_7} + \ldots + {u_{2011}}.$

Lời giải:
1. Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + d – \left( {{u_1} + 2d} \right) + {u_1} + 4d = 10}\\
{{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + 3d = 10}\\
{{u_1} + 4d = 13}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow {u_1} = 1$, $d = 3$; ${u_5} = {u_1} + 4d = 1 + 12 = 13.$
2. Ta sở hữu ${u_5}$, ${u_7}$, …, ${u_{2011}}$ lập trở nên CSC với công sai $d = 6$ và sở hữu $1003$ số hạng nên $S = \frac{{1003}}{2}\left( {2{u_5} + 1002.6} \right)$ $ = 3028057.$

Ví dụ 5. Cho một cung cấp số nằm trong $\left( {{u_n}} \right)$ sở hữu ${u_1} = 1$ và tổng $100$ số hạng đầu vì chưng $24850.$ Tính $S = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}}.$

Lời giải:
Gọi $d$ là công sai của cung cấp số tiếp tục mang đến.
Ta có: ${S_{100}} = 50\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 24850$ $ \Rightarrow d = \frac{{497 – 2{u_1}}}{{99}} = 5.$
$ \Rightarrow 5S = \frac{5}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{5}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{5}{{{u_{49}}{u_{50}}}}$ $ = \frac{{{u_2} – {u_1}}}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{{{u_3} – {u_2}}}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{{{u_{50}} – {u_{49}}}}{{{u_{49}}{u_{50}}}}.$
$ = \frac{1}{{{u_1}}} – \frac{1}{{{u_2}}}$ $ + \frac{1}{{{u_2}}} – \frac{1}{{{u_3}}}$ $ + \ldots + \frac{1}{{{u_{48}}}} – \frac{1}{{{u_{49}}}}$ $ + \frac{1}{{{u_{49}}}} – \frac{1}{{{u_{50}}}}.$
$ = \frac{1}{{{u_1}}} – \frac{1}{{{u_{50}}}}$ $ = \frac{1}{{{u_1}}} – \frac{1}{{{u_1} + 49d}} = \frac{{245}}{{246}}$ $ \Rightarrow S = \frac{{49}}{{246}}.$

Ví dụ 6. Cho cung cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ sở hữu những số hạng không giống ko, mò mẫm ${u_1}$ biết:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\
{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}
\end{array}} \right..$

Lời giải:
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}\left( {1 + q + {q^2} + {q^3}} \right) = 15}\\
{u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}\frac{{{q^4} – 1}}{{q – 1}} = 15}\\
{u_1^2\frac{{{q^8} – 1}}{{{q^2} – 1}} = 85}
\end{array}} \right..$
$ \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} – 1}}{{q – 1}}} \right)^2}\left( {\frac{{{q^2} – 1}}{{{q^8} – 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{\left( {{q^4} – 1} \right)(q + 1)}}{{(q – 1)\left( {{q^4} + 1} \right)}} = \frac{{45}}{{17}}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{q = 2}\\
{q = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right..$
Từ bại liệt tớ tìm kiếm được ${u_1} = 1$ hoặc ${u_1} = 8.$

Ví dụ 7. Cho cung cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_4} = \frac{2}{{27}}}\\
{{u_3} = 243{u_8}}
\end{array}} \right..$
1. Viết năm số hạng đầu của cung cấp số.
2. Tính tổng $10$ số hạng đầu của cung cấp số.
3. Số $\frac{2}{{6561}}$ là số hạng loại từng nào của cung cấp số?

Lời giải:
Gọi $q$ là công bội của cung cấp số. Theo fake thiết tớ có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\
{{u_1}{q^2} = 243{u_1}{q^7}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\
{{q^5} = \frac{1}{{243}}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{q = \frac{1}{3}}\\
{{u_1} = 2}
\end{array}} \right..$
1. Năm số hạng đầu của cung cấp số là: ${u_1} = 2$, ${u_2} = \frac{2}{3}$, ${u_3} = \frac{2}{9}$, ${u_4} = \frac{2}{{27}}$, ${u_5} = \frac{2}{{81}}.$
2. Tổng $10$ số hạng đầu của cung cấp số:
${S_{10}} = {u_1}\frac{{{q^{10}} – 1}}{{q – 1}}$ $ = 2.\frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}} – 1}}{{\frac{1}{3} – 1}}$ $ = 3\left[ {1 – {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right]$ $ = \frac{{59048}}{{19683}}.$
3. Ta có: ${u_n} = \frac{2}{{{3^{n – 1}}}}$ $ \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{6561}}$ $ \Leftrightarrow {3^{n – 1}} = 6561$ $ = {3^8}$ $ \Rightarrow n = 9.$
Vậy $\frac{2}{{6561}}$ là số hạng loại $9$ của cung cấp số.

II. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ liệu có phải là cung cấp số nằm trong không? Nếu cần hãy xác lập số công sai? Biết:
1. ${u_n} = 2n + 3.$
2. ${u_n} = \frac{2}{n}.$

Xem thêm: Ý nghĩa hoa cúc họa mi - Loài hoa mảnh khảnh, đáng yêu - Shop Hoa Vũng Tàu

Lời giải:
1. Ta có: ${u_{n + 1}} – {u_n}$ $ = 2(n + 1) + 3 – (2n + 3) = 2$ là hằng số.
Suy rời khỏi mặt hàng $\left( {{u_n}} \right)$ là cung cấp số cùng theo với công sai $d = 2.$
2. Ta có: ${u_{n + 1}} – {u_n}$ $ = \frac{2}{{n + 1}} – \frac{2}{n}$ $ = \frac{{ – 2}}{{n(n + 1)}}$ tùy theo $n.$
Vậy mặt hàng $\left( {{u_n}} \right)$ ko cần là cung cấp số nằm trong.

Bài 2. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có cần là cung cấp số nhân không? Nếu cần hãy xác lập số công bội? Biết:
1. ${u_n} = 2n.$
2. ${u_n} = {4.3^n}.$
3. ${u_n} = \frac{2}{n}.$

Lời giải:
1. Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{n}$ phụ nằm trong vô $n$ suy rời khỏi mặt hàng $\left( {{u_n}} \right)$ ko cần là cung cấp số nhân.
2. Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{4.3}^{n + 1}}}}{{{{4.3}^n}}} = 3$ ko tùy theo $n$ suy rời khỏi mặt hàng $\left( {{u_n}} \right)$ là 1 cung cấp số nhân với công bội $q = 3.$
3. Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{2}{{n + 1}}:\frac{2}{n} = \frac{n}{{n + 1}}$ phụ nằm trong vô $n.$
Suy rời khỏi mặt hàng $\left( {{u_n}} \right)$ không cần là cung cấp số nhân.

Bài 3. Xét coi những mặt hàng số sau liệu có phải là cung cấp số nằm trong hoặc không? Nếu cần hãy xác lập công sai.
1. ${u_n} = 4 – 5n.$
2. ${u_n} = \frac{{2n + 3}}{5}.$
3. ${u_n} = \frac{{n + 1}}{n}.$

Lời giải:
1. Ta có: ${u_{n + 1}} – {u_n} = – 5.$
Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là cung cấp số nằm trong sở hữu công sai $d = -5.$
2. Ta có: ${u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{2}{5}.$ Dãy $\left( {{u_n}} \right)$ là cung cấp số nằm trong sở hữu công sai $d = \frac{2}{5}.$
3. Ta có: ${u_{n + 1}} – {u_n} = – \frac{1}{{n(n + 1)}}$ $ \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ không là cung cấp số nằm trong.

Bài 4. Tam giác $ABC$ sở hữu phụ vương góc $A$, $B$, $C$ theo dõi trật tự bại liệt lập trở nên cung cấp số nằm trong và $C = 5A.$ Xác quyết định số đo những góc $A$, $B$, $C.$

Lời giải:
Từ fake thiết việc tớ sở hữu hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{A + B + C = {{180}^0}}\\
{A + C = 2B}\\
{C = 5A}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{C = 5A}\\
{B = 3A}\\
{9A = {{180}^0}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{A = {{20}^0}}\\
{B = {{60}^0}}\\
{C = {{100}^0}}
\end{array}} \right..$

Bài 5. Cho mặt hàng số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {3^{\frac{n}{2} + 1}}.$
1. Chứng minh mặt hàng số $\left( {{u_n}} \right)$ là cung cấp số nhân.
2. Tính tổng $S = {u_2} + {u_4} + {u_6} + \ldots + {u_{20}}.$
3. Số $19683$ là số hạng loại bao nhiêu của mặt hàng số.

Lời giải:
1. Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{3^{\frac{{n + 1}}{2} + 1}}}}{{{3^{\frac{n}{2} + 1}}}} = \sqrt 3 $, $\forall n \in {N^*}$ $ \Rightarrow $ Dãy số là cung cấp số nhân với ${u_1} = 3\sqrt 3 $; $q = \sqrt 3 .$
2. Ta sở hữu ${u_2}$, ${u_4}$, ${u_6}$, …, ${u_{20}}$ lập trở nên cung cấp số nhân số hạng đầu ${u_2} = 9$; $q = 3$ và sở hữu $10$ số hạng nên: $S = {u_2}.\frac{{1 – {3^{10}}}}{{1 – 3}}$ $ = 9.\frac{{{3^{10}} – 1}}{2}$ $ = \frac{9}{2}\left( {{3^{10}} – 1} \right).$
3. Ta có: ${u_n} = 19683$ $ \Leftrightarrow {3^{\frac{n}{2} + 1}} = {3^9}$ $ \Leftrightarrow \frac{n}{2} + 1 = 9$ $ \Leftrightarrow n = 16.$
Vậy số $19683$ là số hạng loại $16$ của cung cấp số.

Bài 6.
1. Cho cung cấp số nhân sở hữu $7$ số hạng, số hạng loại tư vì chưng $6$ và số hạng loại bảy vội vàng $243$ thứ tự số hạng loại nhị. Hãy mò mẫm số hạng sót lại của CSN bại liệt.
2. Tìm phụ vương số hạng liên tục của một cung cấp số nằm trong biết tổng của bọn chúng vì chưng $ – 9$ và tổng những bình phương của bọn chúng vì chưng $29.$

Lời giải:
1. Gọi CSN này đó là $\left( {{u_n}} \right)$, $n = \overline {1,7} .$ Theo đề bài bác tớ có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_4} = 6}\\
{{u_7} = 243{u_2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}{q^3} = 6}\\
{{u_1}{q^6} = 243{u_1}q}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = \frac{2}{9}}\\
{q = 3}
\end{array}} \right..$
Do bại liệt những số hạng sót lại của cung cấp số nhân là:
${u_1} = \frac{2}{9}$; ${u_2} = \frac{2}{3}$; ${u_3} = 2$; ${u_5} = 18$; ${u_6} = 54$; ${u_7} = 162.$
2. Gọi phụ vương số hạng của CSC là $a – 2x$; $a$; $a + 2x$ với $d = 2x.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a – 2x + a + a + 2x = – 9}\\
{{{(a – 2x)}^2} + {a^2} + {{(a + 2x)}^2} = 29}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – 3}\\
{x = \pm \frac{1}{2}}
\end{array}} \right..$

Bài 7.
1. Cho cung cấp số nằm trong $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn nhu cầu $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_7} – {u_3} = 8}\\
{{u_2}{u_7} = 75}
\end{array}} \right..$ Tìm ${u_1}$, $d$?
2. Cho cung cấp số nằm trong $\left( {{u_n}} \right)$ sở hữu công sai $d > 0$; $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_{31}} + {u_{34}} = 11}\\
{u_{31}^2 + u_{34}^2 = 101}
\end{array}} \right..$ Hãy mò mẫm số hạng tổng quát tháo của cung cấp số nằm trong bại liệt.
3. Gọi ${S_1}$; ${S_2}$; ${S_3}$ là tổng ${n_1}$; ${n_2}$; ${n_3}$ số hạng đầu của một cung cấp số nằm trong. Chứng minh rằng $\frac{{{S_1}}}{{{n_1}}}\left( {{n_2} – {n_3}} \right)$ $ + \frac{{{S_2}}}{{{n_2}}}\left( {{n_3} – {n_1}} \right)$ $ + \frac{{{S_3}}}{{{n_3}}}\left( {{n_1} – {n_2}} \right) = 0.$

Lời giải:
1. Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + 6d – {u_1} – 2d = 8}\\
{\left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 6d} \right) = 75}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{d = 2}\\
{{u_1} = 3,{u_1} = – 17}
\end{array}} \right..$
2. Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2{u_1} + 63d = 11}\\
{{{\left( {{u_1} + 30d} \right)}^2} + {{\left( {{u_1} + 33d} \right)}^2} = 101}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 89}\\
{d = 3}
\end{array}} \right..$
Vậy ${u_n} = 3(n – 1) – 89$ $ = 3n – 92.$
3. Thay công thức ${S_1} = \frac{{{n_1}}}{2}\left( {2{u_1} + \left( {{n_1} – 1} \right)d} \right)$; ${S_2} = \frac{{{n_2}}}{2}\left( {2{u_2} + \left( {{n_2} – 1} \right)d} \right)$; ${S_3} = \frac{{{n_3}}}{2}\left( {2{u_3} + \left( {{n_3} – 1} \right)d} \right).$
Ta sở hữu điều cần chứng tỏ.

Bài 8. Cho cung cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\
{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}
\end{array}} \right..$
1. Tìm công bội và số hạng tổng quát tháo của cung cấp số.
2. Tính tổng ${S_{2011}}.$
3. Trên khoảng tầm $\left( {\frac{1}{2};1} \right)$ sở hữu từng nào số hạng của cung cấp số.

Xem thêm: Tổng hợp các ngày lễ, sự kiện trong tháng 12. Danh sách các ngày lễ tháng 12 ở Việt Nam và thế giới

Lời giải:
1. Gọi $q$ là công bội của cung cấp số. Khi bại liệt tớ có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_2} + {u_3} + {u_4} = \frac{{39}}{{11}}}\\
{{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3}} \right) = \frac{{39}}{{11}}}\\
{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = \frac{{82}}{{11}}}
\end{array}} \right..$
Suy ra: $\frac{{{q^4} + 1}}{{{q^3} + {q^2} + q}} = \frac{{82}}{{39}}$ $ \Leftrightarrow 39{q^4} – 82{q^3} – 82{q^2} – 82q + 39 = 0.$
$ \Leftrightarrow (3q – 1)(q – 3)\left( {13{q^2} + 16q + 13} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow q = \frac{1}{3}$ hoặc $q = 3.$
+ Với $q = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow {u_1} = \frac{{81}}{{11}}$ $ \Rightarrow {u_n} = \frac{{81}}{{11}}.\frac{1}{{{3^{n – 1}}}}$
+ Với $q = 3$ $ \Rightarrow {u_1} = \frac{1}{{11}}$ $ \Rightarrow {u_n} = \frac{{{3^{n – 1}}}}{{11}}.$
2. Ta có: ${S_{2011}} = {u_1}\frac{{{q^{2011}} – 1}}{{q – 1}}.$
+ Với $q = \frac{1}{3}$ $ \Rightarrow {S_{2011}} = \frac{{243}}{{22}}\left( {1 – \frac{1}{{{3^{2011}}}}} \right).$
+ Với $q = 3$ $ \Rightarrow {S_{2011}} = \frac{1}{{22}}\left( {{3^{2011}} – 1} \right).$
3. Với $q = 3$ tớ có: ${u_n} = \frac{{{3^{n – 1}}}}{{11}} \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)$ $ \Leftrightarrow n = 3$ nên sở hữu một số trong những hạng của mặt hàng.
Với $q = \frac{1}{3}$ tớ có: ${u_n} = \frac{1}{{{{11.3}^{n – 5}}}} \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)$ $ \Leftrightarrow n = 3$ nên sở hữu một số trong những hạng của mặt hàng.

Bài 9. Cho mặt hàng số $\left( {{x_n}} \right)$: ${x_n} = \frac{1}{n}$, $n = 1,2,3 \ldots .$ Chứng minh rằng luôn luôn tồn bên trên một cung cấp số nằm trong bao gồm $2011$ số hạng nhưng mà từng số hạng đều nằm trong mặt hàng số bên trên.

Lời giải: Xét mặt hàng số $\left( {{u_n}} \right):{u_k} = \frac{k}{{2011!}}$, $k = \overline {1,2011} .$
Ta có: ${u_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{2011!}}$ $ = \frac{k}{{2011!}} + \frac{1}{{2011!}}$ $ = {u_k} + \frac{1}{{2011!}}.$
Nên mặt hàng $\left( {{u_n}} \right)$ là cung cấp số nằm trong sở hữu $2011$ số hạng.
Hơn nữa ${u_k} = \frac{1}{{1.2 \ldots (k – 1)(k + 1) \ldots 2011}}$ $ = {x_{1.2 \ldots (k – 1)(k + 1) \ldots 2011}}.$
Từ bại liệt tớ sở hữu điều cần chứng tỏ.